22 – Hyperbola

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Hyperbola

Definice

:

• Kuželosečku, která vznikne řezem kuželu rovinou kolmou na rovinu podstavy kuželu
• Hyperbola je množina všech bodů roviny, jejichž absolutní hodnota rozdílů

vzdáleností od daných dvou pevných bodů je stálá

• Pro každý bod hyperboly platí: ||𝑋𝐸| − |𝑋𝐹|| = 2𝑎
• Hyperbola NEMÁ vedlejší vrcholy
• Hyperbola má 2 větve, které jsou osově souměrné

Pojmy

:

• Ohniska hyperboly – body, od nichž se odpočítává rozdíl vzdáleností (body 𝐸 a 𝐹)
• Hlavní vrcholy – body, kde se hyperboly protínají s osami souřadnic (body 𝐴 a 𝐵)
• Střed – bod stejně vzdálený od obou hlavních vrcholu (značí se 𝑆)
• Excentricita – vzdálenost ohniska hyperboly od středu (𝑒 = |𝐸𝑆| = |𝐹𝑆| = √𝑎2 + 𝑏2)
• Délka hlavní poloosy – vzdálenost hlavního vrcholu od středu (𝑎 = |𝐴𝑆| = |𝐵𝑆|)
• Délka vedlejší poloosy – odmocnina rozdílu druhých mocnin excentricity a hl. poloosy
• Asymptota – přímka, která se blíží k větvi hyperboly, ale nikdy se s ní neprotne
• Rovnoosá hyperbola – hyperbola, u níž se 𝑎 = 𝑏
• Asymptotická sečna – přímka, která je rovnoběžná s asymptotou a protíná hyperbolu

Vzorce

:

(𝑥−𝑚)2

𝑎2

−

(𝑦−𝑛)2

𝑏2

= 1

(𝑦−𝑛)2

𝑏2

−

(𝑥−𝑚)2

𝑎2

= 1

Hyperbola souměrná s osou

𝑥

Hyperbola souměrná s osou 𝑦

𝑦 − 𝑛 = ±

𝑏

𝑎

(𝑥 − 𝑚)

𝑦 − 𝑛 = ±

𝑏

𝑎

(𝑥 − 𝑚)

Asymptoty hyperboly souměrné s osou

𝑥

Asymptoty hyperboly souměrné s osou 𝑦

Obecná rovnice hyperboly:

𝐴𝑥2 − 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

• Obecná rovnice paraboly souměrné pole osy 𝑥
• 𝐴 > 0; 𝐵 > 0; 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 ∈ 𝑅

−𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

• Obecná rovnice paraboly souměrné pole osy 𝑦
• 𝐴 > 0; 𝐵 > 0; 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 ∈ 𝑅

Vzájemná poloha přímky a hyperboly:

• Při řešení příkladů na vzájemnou polohu přímky a hyperboly řešíme soustavu

kvadratické a lineární rovnice

• Rovnice může mít 3 možná řešení:

1. Žádné řešení (vnější přímka, žádný společný bod)
2. 1 řešení (tečna nebo asymptotická sečna, 1 společný bod)
3. 2 řešení (sečna, 2 společné body)

Vzorce pro vzájemnou polohu přímky a hyperboly:

(𝑥−𝑚)(𝑥0−𝑚)

𝑎2

−

(𝑦−𝑛)(𝑦0−𝑛)

𝑏2

= 1

(𝑦−𝑛)(𝑦0−𝑛)

𝑏2

−

(𝑥−𝑚)(𝑥0−𝑚)

𝑎2

= 1

𝑥𝑥0

𝑎2

−

𝑦𝑦0

𝑏2

= 1

𝑦𝑦0

𝑏2

−

𝑥𝑥0

𝑎2

= 1

Rovnice tečny k hyperbole kde 𝑜 || 𝑥

Rovnice tečny k hyperbole kde 𝑜 || 𝑦

• Do rovnice tečny k hyperbole dosadíme společný bod hyperboly a přímky
• Během určování přímek, které mají 1 společný bod s hyperbolou, nesmíme

zapomenout na asymptotické sečny