6 – Algebraické nerovnice

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Algebraické nerovnice

Definice nerovnice

:

• Nerovnice je matematický zápis nerovnosti dvou výrazů
• Rozumíme tím všechny výrazy tvořené pravou a levou stranou, kde se nachází i

neznámá či neznámé, a znaménkem nerovnosti mezi nimi

• Existují čtyři druhy znamének nerovnosti: menší než (<), větší než (>), menší nebo

rovno než (≤), větší nebo rovno než (≥)

• Řešením nerovnice je množina všech čísel, které splňují danou nerovnost
• Nerovnost (v mat.) představuje relaci porovnávající uspořádání čísel podle velikosti
• Jako nerovnosti jsou označeny i některé matematické věty, například: trojúhelníková

věta (2 strany > 1 strana) nebo Minkowského nerovnost

• V oboru reálných čísel může mít nerovnice tato řešení:

▪ Prázdná množina (𝑥 ∈ ∅) – nerovnice nemá řešení
▪ Interval (𝑥 ∈ 〈−1; 1〉) – výsledkem jsou všechna čísla nacházející se v intervalu
▪ Sjednocení intervalů (𝑥 ∈ (−∞; −2) ∪ (2; ∞)) – čísla v intervalech, ale ne mezi

Postup a pravidla při řešení nerovnic:

• Provádíme-li ekvivalentí úpravy, znaménko nerovnosti se nemění
• Násobíme-li nerovnost záporným číslem, otočíme znaménko nerovnosti
• Nachází-li se neznámá ve jmenovateli, NEMŮŽEME nerovnici vynásobit neznámou,

protože nevíme, zda je její hodnota kladná nebo záporná

• Je-li proměnná ve jmenovateli, ostatní členy rozšíříme (vynásobíme výrazem

𝑥

𝑥

)

• Není-li jasné, zda je proměnná kladná/záporná, musíme vyřešit soustavu 2 nerovnic,

které budou mít opačná znaménka

• Výsledkem je interval, který může být otevřený, uzavřený či z každé strany jiný
• Otevřený interval (2; 5) neobsahuje krajní body
• Uzavřený interval 〈−2; 2〉 je ohraničen krajními body, které jsou součástí intervalu

Postup při řešení lineární nerovnice s absolutní hodnotou:

• Je-li neznámá v absolutní hodnotě, určíme si její nulový bod/nulové body
• Nerovnici rozdělíme na několik částí podle intervalů určených nulovými body
• Tyto nerovnice vyřešíme
• Nachází-li se výsledek v intervalu, sjednotíme ho s tímto intervalem.

Příklad – lineární nerovnice s absolutní hodnotou:

Zadání: |𝑥 + 5| < 12

Řešení:

±(𝑥 + 5) < 12

𝑁𝑢𝑙𝑜𝑣é 𝑏𝑜𝑑𝑦: − 5, +5

𝑥 + 5 < 12

𝑥 < 7

< −5; ∞) ∩ (7; ∞) =< −5; 7)

−(𝑥 + 5) < 12

−𝑥 < 17
𝑥 > −17

𝑥 ∈ (−17; ∞)

(−17; ∞) ∩ (−∞; −5) = (−17; −5)

𝑥 ∈ < −5; 7) ∩ (−17; −5) = (−17; 7)

𝑥 ∈ (−17; 7)

Postup při řešení nerovnic s více znamínky nerovnosti:

• Takovou nerovnici musíme rozdělit na menší nerovnice podle toho, kolik znamének

nerovnosti se v nerovnici nachází (u 2 znamének 2 nerovnice)

• Každou nerovnici vyřešíme zvlášť
• Uděláme průnik řešení, což je řešení původní nerovnice
• Nenastane-li průnik řešení, výsledkem nerovnice je prázdná množina
• Tento postup je stejný jako u soustavy vícero nerovnic