7 – Parametr v matematice

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Parametr v matematice

Definice parametru

:

• Parametr je pomocná proměnná
• V matematických příkladech se jedná o neznámou, jejíž hodnotu zatím neznáme
• V algebře se parametr nejčastěji označuje 𝑝, v analytické geometrii se označuje 𝑡
• Praktické uplatnění najdeme v ekonomii nebo v inženýrství, kde je nutné mít

proměnnou, s jejíž hodnotou lze hýbat

• Rovnice bez parametru mají vždy přesně daný počet řešení a jejich hodnoty, u rovnic

s parametrem závisí výsledek na parametru, o řešení vedeme diskuzi podle parametru

• Rovnice s parametrem jsou vlastně najednou zapsané větší množství rovnic.
• Vyřešit rovnici s parametrem znamená vyřešit všechny tyto rovnice, tj. určit množiny

všech řešení odpovídající jednotlivým hodnotám parametru

Parametrická rovnice přímky:

𝑋 = 𝐴 + 𝑡 × 𝑢

⃗

𝑥 = 𝑎1 + 𝑡𝑢1
𝑦 = 𝑎2 + 𝑡𝑢2

• 𝑎

1 a 𝑎2 jsou souřadnice počátečního bodu, 𝑢1 a 𝑢2 jsou souřadnice vektoru

• 𝑡 je parametr; u přímky a roviny je parametr 𝑡 reálné číslo
• U parametrické rovnice v prostoru přidáme třetí rozměr

Parametrická rovnice přímky, polopřímky a úsečky:

𝑝: 𝑋 = 𝐴 + 𝑡 × 𝑢

⃗

• Pokud je parametr 𝑡 reálné číslo, jedná se o přímku

𝐴𝐵

⃗⃗⃗ ∶ 𝑋 = 𝐴 + 𝑡 × 𝑢⃗

• Pokud je parametr 𝑡 reálné kladné číslo jiné od nuly, jedná se o polopřímku

𝐴𝐵

⃡⃗⃗ : 𝑋 = 𝐴 + 𝑡 × 𝑢⃗

• Pokud parametr 𝑡 číslo z uzavřeného intervalu 〈0; 1〉, jedná se o úsečku

Parametrické vyjádření roviny:

𝑋 = 𝐴 + 𝑠𝑢 + 𝑡𝑢

𝑥 = 𝑎1 + 𝑠𝑢1 + 𝑡𝑣1
𝑦 = 𝑎2 + 𝑠𝑢2 + 𝑡𝑣2
𝑧 = 𝑎3 + 𝑠𝑢3 + 𝑡𝑣3

• Parametricky vyjádřená rovina daná bodem 𝐴 a dvěma vektory
• Parametry 𝑠 a 𝑡 jsou reálná čísla, 𝑢 ani 𝑣 se nesmí rovnat nule

Příklad – parametrické vyjádření roviny:

Zadání:
Rozhodněte, zda bod K[3; 2; 0] leží v rovině určené bodem A[2; 1; 5] a přímkou p(B, u),
jestliže B[2; -1; 2] a u = (1; 3; 3).

Řešení:

Nejdříve si vyjádříme parametrickou rovnici dané roviny. Za 𝑎 dosadíme souřadnice bodu A,

za

𝑢 dosadíme souřadnice vektoru 𝑢 a za 𝑣 dosadíme souřadnice vektoru 𝐴𝐵

⃗⃗⃗ . Ten jistíme tak,

že souřadnice bodu 𝐴 odečteme od souřadnic bodu𝐵.

𝑥 = 2 + 1𝑠 + 0𝑡
𝑦 = 1 + 3𝑠 + (−2)𝑡
𝑧 = 5 + 3𝑠 + (−3)𝑡

Abychom zjistili, jestli bod leží v rovině, dosadíme jeho souřadnice za proměnné 𝑥, 𝑦 a 𝑧.

3 = 2 + 1𝑠 + 0𝑡
2 = 1 + 3𝑠 − 2𝑡
0 = 5 + 3𝑠 − 3𝑡

Dále úlohu řešíme jako soustavu lineárních rovnic se dvěma neznámými. Vypočítáme, že
𝑠 = 1 a z druhé rovnice vypočítáme, že 𝑡 = 1. Po dosazení nám vyjdou první 2 rovnice, ale
třetí rovnice vyjde 0 = 5, z čehož vyplývá, že pod K se v rovině nenachází.