6 – Algebraické nerovnice
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Grafické řešení nerovnic:
• Každou stranu nerovnice vyjádříme jako funkci (𝑥 + 1 ≥ 2 => 𝑦 = 𝑥 + 1 ∩ 𝑦 = 2)
• Načrtneme grafy těchto funkcí do soustavy souřadnic
• Podle znaménka nerovnosti určíme interval, který odpovídá správnému řešení
• Správně určíme typ intervalu (otevřený/uzavřený)
Nerovnice s komplexními čísly
• V nerovnicích s komplexním číslem se imaginární jednotka nachází v absolut. hodnotě
• Obě strany rovnice upravíme a zbavíme se absolutní hodnoty
• Vypočteme výsledek; ten zakreslíme do soustavy souřadnic (viz. komplexní čísla)
Příklad – nerovnice s komplexním číslem:
Zadání:
|𝑧| < |
1+2𝑖
3−𝑖
|
Řešení:
|𝑧| < |
1 + 2𝑖
3 − 𝑖
|
|𝑧| < |
(1 + 2𝑖) × (3 + 𝑖)
(3 − 𝑖) × (3 + 𝑖)
|
|𝑧| < |
3 + 𝑖 + 6𝑖 + 2𝑖2
9 − 𝑖2
|
|𝑧| < |
3 + 7𝑖 − 2
9 + 1
|
|𝑧| < |
7𝑖 + 1
10
|
|
7𝑖 + 1
10
| = √(
1
10
)
2
+ (
7
10
)
2
= √
1
100
+
49
100
= √
1
2
=
√2
2
|𝑧| <
√2
2
Výsledkem bude množina všech bodů náležící kružnici o poloměru
√2
2
bez krajních bodů.
Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru:
• Nerovnice v podílovém tvaru je nerovnice, kde je neznámá ve jmenovateli zlomku
• Nerovnice v součinovém tvaru je taková nerovnice, kde neznámá násobitelem
• U obou typů nerovnic rozhodujeme, zda je součin/podíl kladný či záporný
• Takové nerovnice NEMŮŽEME vynásobit výrazem (jmenovatelem), protože nevíme,
zda není nulový, kladný či záporný
• U těchto nerovnic převedeme jednu stranu na druhou, aby se jedna strana rovnala 0
• Pokud nám vyjde výsledek s neznámou ve jmenovateli i v čitateli, určíme podle
nulových bodů intervaly a zjistíme, v jakých intervalech je výsledek kladný/záporný
• U rovnic v součinovém tvaru postupujeme stejně; nesmíme dělit/násobit výrazem
Příklad – nerovnice v podílovém tvaru:
Zadání:
1
𝑥−1
< 2
Řešení:
1
𝑥 − 1
< 2
1
𝑥 − 1
−
2𝑥 − 2
𝑥 − 1
< 0
3 − 2𝑥
𝑥 − 1
< 0
Nulové body:
3
2
; 1
𝐾 = (−∞; 1) ∪ (
3
2
; +∞)
Tabulka výsledků
(−∞; 1)
(1;
3
2
)
(
3
2
; +∞)
Čitatel
+
+
–
Jmenovatel
–
+
–
Výsledek výrazu
–
+
+