12 – Posloupnosti a řady

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Posloupnosti a řady

Definice posloupnosti

:

• Posloupnost je řada objektů, v níž záleží na pořadí a objekty se mohou opakovat
• Posloupnosti dělíme na konečné a nekonečné
• Pokud je posloupnost konečná, můžeme jí nazvat uspořádanou n-ticí
• Posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do libovolné množiny

Způsoby zápisu posloupnosti:

1. Vzorcem pro n-tý člen: {

3𝑛 − 1}𝑛=1

∞

2. Výčtem prvků: {

2, 5, 8, 11, 14, 17, … }

3. Grafem

4. Rekurentním zadáním:

𝑎1 = 3 𝑎𝑛+1 = 3𝑎𝑛 − 1

Vlastnosti posloupností:

• Monotónnost:

∀ 𝑛 ∈ 𝑁: 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1

• Posloupnost je rostoucí, je-li každý další prvek větší než prvek předchozí

∀ 𝑛 ∈ 𝑁: 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1

• Posloupnost je klesající, je-li každý další prvek menší než prvek předchozí

∀ 𝑛 ∈ 𝑁: 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1

• Posloupnost je neklesající, je-li každý prvek větší nebo roven prvku předešlému

∀ 𝑛 ∈ 𝑁: 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1

• Posloupnost je nerostoucí, je-li každý prvek menší nebo roven prvku předešlém

• Každá rostoucí posloupnost je neklesající, každá klesající posloupnost je rostoucí
• Ale tyto výroky neplatí obráceně čili ne každá neklesající posloupnost je rostoucí

• Omezenost:

∃𝑘 ∈ 𝑅, ∀𝑛 ∈ 𝑁: 𝑎𝑘 ≤ 𝑘

• Posloupnost je omezená shora, právě tehdy, když existuje reálné číslo 𝑘 takové, že

žádný člen posloupnosti není vyšší než dané reálné číslo

∃𝑑 ∈ 𝑅, ∀𝑛 ∈ 𝑁: 𝑎𝑘 ≥ 𝑑

• Posloupnost je omezená zdola, právě tehdy, když existuje reálné číslo 𝑑 takové, že

žádný člen posloupnosti není nižší než dané reálné číslo

• Posloupnost je omezená tehdy, je-li omezená shora i zdola
• Je-li posloupnost rostoucí/klesající, je omezená zdola/shora prvním členem

Aritmetická posloupnost:

𝐴𝑃 <=> ∃𝑑 ∈ 𝑅 ∀𝑛 ∈ 𝑁: 𝑎𝑛+1 = 𝑎 + 𝑑

• Posloupnost je aritmetická, liší-li se sousední členy o konstantu (značí se 𝑑)
• Tato konstanta, rozdíl mezi sousedními členy, se nazývá diference
• Aritmetickou posloupnost lze chápat jako lineární funkci
• Každý člen, s výjimkou prvního a posledního, lze vypočítat přes aritmetický

průměr sousedních členů

Vztahy v aritmetické posloupnosti:

1.

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 => vztah pro libovolný člen posloupnosti

2.

𝑎𝑟 = 𝑎𝑠 + (𝑟 − 𝑠)𝑑 => vyjádření r-tého členu z s-tého členu posloupnosti

3.

𝑠𝑛 =

𝑛

2

(𝑎1 + 𝑎𝑛) => součet 𝑛 členů aritmetické posloupnosti

4. 𝑎𝑛 =

(𝑎𝑛−1)+(𝑎𝑛+1)

2

=> vzorec pro výpočet členu z hodnot sousedních členů

Odvození vzorce pro součet prvních 𝒏 členů:

𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 ⋯ + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛