14 – Trojúhelník

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Trojúhelník

Definice

:

• Trojúhelník je rovinný geometrický útvar daný třemi body, které neleží v jedné přímce
• U trojúhelníků platí podmínka, že součet délek dvou libovolných stran trojúhelníku

musí být větší než třetí strana

• Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy roven 180°

Pojmy:

• Střední příčka je spojnice středů stran (je rovnoběžná a je polovinou příslušné strany)
• Příčkový trojúhelník je trojúhelník, který vznikne ze středních příček
• Těžnice je spojnice středu strany s protilehlým vrcholem (|𝐴𝑇|: |𝑇𝑆𝐵𝐶| = 2: 1)

• Těžiště je bod, kterým všechny těžnice prochází, značí se písmenem T
• Výška je kolmice k základně procházející protilehlým vrcholem trojúhelníku
• Ortocentrum je bod, v němž se výšky střetávají
• Pata výšky je průsečík výšky s příslušnou stranou, nejčastěji se značí písmenem P
• Ortický trojúhelník je trojúhelník tvořený patami výšek trojúhelníka
• Kružnice vepsaná je kružnice, jež se dotýká všech třech stran trojúhelníku
• Kružnice opsaná je kružnice, jež se dotýká všech třech vrcholů trojúhelníku
• Osy vnitřních úhlů dělí úhel na polovinu a zároveň protější stranu v poměru stran
• Osy strany jsou kolmice vedené ze středu stran trojúhelníku
• Eulerova přímka protíná těžiště, ortocentrum i střed kružnice opsané a nachází se

pouze v nerovnostranných trojúhelnících

Druhy trojúhelníků:

1. Rovnostranný trojúhelník

• Trojúhelník, jehož všechny strany jsou stejně dlouhé
• Všechny vrcholy svírají vnitřní úhel 60°
• Těžnice a výška rovnostranného trojúhelníku jsou totožné
• Těžiště, ortocentrum a střed kružnice vepsané a opsané jsou totožný bod

Výška

𝑣 = 𝑎 × sin 60° =

𝑎√3

2

Obsah

𝑆 =

𝑎 × 𝑣

2

Obvod

𝑜 = 3 × 𝑎

r (vepsané)

𝑟 =

𝑎√3

6

R (opsané)

𝑅 =

𝑎

√3

2. Rovnoramenný trojúhelník

• Trojúhelník, který má dvě strany shodné
• Shodné strany se nazývají ramena a třetí strana se nazývá základna
• Je osově souměrný podle výšky na základnu
• Úhly při základně jsou shodné a výšky příslušné ramenům jsou taky shodné
• Těžnice ke straně 𝑐 je shodná s výškou ke straně 𝑐

Výška

𝑣 = √𝑎2 − (

𝑐

2

)

2

Obsah

𝑆 =

𝑎2

2

sin 𝛾 =

𝑐 × 𝑣𝑐

2

Obvod

𝑜 = 2𝑎 + 𝑐

3. Pravoúhlý trojúhelník

• Trojúhelník, jehož jeden vnitřní úhel svírá 90°
• Strany sousedící s pravým úhlem označujeme jako odvěsny, nejdelší protilehlá

strana se nazývá přepona

Obsah

𝑆 =

𝑐 × 𝑏

2

=

𝑎 × 𝑣𝑎

2

Obvod

𝑜 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

4. Obecný trojúhelník

• Takový trojúhelník, který splňuje pouze základní podmínky pro trojúhelník

Obsah

𝑆 =

𝑎 × 𝑣𝑎