Přímka a její analytické vyjádření

41.

Přímka a její analytické vyjádření

Analytická geometrie používá početní výkony (ne jen kreslení)

Rovnice přímky v rovině: u = B – A

Rovnice X = A + t u ; t∈ R se nazývá parametrická rovnice nebo také parametrické vyjádření přímky určené bodem A a vektorem u ( t – parametr)

t ∈ R0+: → AB (polopřímka)

t ∈ R0-: → BA

t ∈ -- AB (úsečka)

V prostoru lze vyjádřit přímku jen paramterickou rovnicí!

Vzájemná poloha přímek daných parametrickými rovnicemi:

Rovnoběžnost: p(P, u) q(Q, v) v = k. u

Totožnost: 1) v = k. u 2) Q∈ p; k (Q – P) = u

Různoběžnost: ve všech ostatních případech

Kolmost: Skalární součin dvou vektorů = 0

Obecná rovnice přímky:

vektor kolmý k směrovému vektoru přímky je normálový

u = (a, b) n = (-b, a)

rovnice Ax + By + C = 0, kde alespoň jedno z čísel A, B je nenulové, se nazývá obecná rovnice přímky

Totožné přímky - pokud má nekonečně mnoho řešení

Různoběžné přímky – pokud má jedno řešení

Rovnoběžné přímky – pokud nemá řešení

p: ax + by + c = 0

q: a’x + b’y + c‘ = 0 - řešit jako soustavu rovnic; pokud jsou rovnoběžné – jejich normálové vektory jsou LK

Body ve stejné polorovině:

ax + by + c = 0

jedna polorovina s hraniční přímkou p je množina všech bodů X[x, y], pro které platí: ax + by + c ≥ 0; v druhé polorovině (opačné) bude platit ax + by + c≤ 0

Vzdálenost bodů od přímky:

P[p1, p2] ax + by + c = 0 d =

Odchylka přímek: ϕ = cosϕ =

Směrnicový tvar přímky:

y = k.x + q (q – průsečík s osou y, k – směrnice) k = ; k = ; q =

směrnice je tangenta tzv. směrnicového úhlu přímky (odchylka přímky od kladné poloosy)

kolmá směrnice =

Úsekový tvar přímky:

P[p; 0] Q[0, q]

Vzájemná poloha přímek v prostoru:

přímku lze vyjádřit jen parametricky!

Mimoběžné – nemají průsečík

Rovnoběžné – násobek vektorů

Totožné – bod jedné přímky leží na druhé přímce

Různoběžné – mají průsečík