14 – Trojúhelník

2

=

𝑏 × 𝑐 × sin 𝛾

2

Heronův vzorec

𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) 𝑝 =

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

2

r (vepsané)

𝑟𝑣 =

2𝑆

𝑜

r (opsané)

𝑟𝑜 =

𝑎𝑏𝑐

4𝑆

=

𝑐

2 sin 𝛾

Apolloniova věta

𝑡𝑎 = √

2𝑏2 + 2𝑐2 − 𝑎2

4

𝑡𝑏 = √

2𝑎2 + 2𝑐2 − 𝑏2

4

𝑡𝑐 = √

2𝑎2 + 2𝑏2 − 𝑐2

4

Trigonometrické věty:

1. Sinová věta

𝑎

sin 𝛼

=

𝑏

sin 𝛽

=

𝑐

sin 𝛾

• Poměr všech délek stran a hodnot sinů jim protilehlých úhlů je v trojúhelníku

konstantní.

2. Kosinová věta

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛽 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛾

• V každém trojúhelníku se stranami 𝑎, 𝑏, 𝑐 a vnitřními úhly 𝑎, 𝛽, 𝛾 platí, že druhá

mocnina délky strany je rovna součtu délek ostatních stran na druhou a podílu
2násobku ostatních stran vynásobených cosinem úhlu protilehlého hledané straně.

3. Pythagorova věta

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

• Součet obsahů čtverců nad odvěsnami se rovná obsahu čtverce nad přeponou

pravoúhlého trojúhelníku

4. Eukleidova věta o výšce

𝑣2 = 𝑐𝑎 × 𝑐𝑏 => 𝑣 = √𝑐𝑎 × 𝑐𝑏

• V pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina výšky rovna součinu délek obou

úseků přepony

5. Eukleidova věta o odvěsně

𝑎2 = 𝑐𝑎 × 𝑐 => 𝑎 = √𝑐 × 𝑐𝑎 & 𝑏

2 = 𝑐𝑏 × 𝑐 => 𝑏 = √𝑐 × 𝑐𝑏

• V pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délek odvěsny rovna součinu délek

přepony a přilehlého úseku přepony

Důkaz sinové věty:

sin 𝛼 =

𝑣𝑐

𝑏

∩ sin 𝛽 =

𝑣𝑐

𝑎

𝑣𝑐 = 𝑏 × sin 𝛼 ∩ 𝑣𝑐 = 𝑎 × sin 𝛽

𝑏 × sin 𝛼 = 𝑎 × sin 𝛽

sin 𝛼

𝑎

=

sin 𝛽

𝑏

𝑎

sin 𝛼

=

𝑏

sin 𝛽

Věty o shodnosti trojúhelníků:

• Věta SSS – Dva trojúhelníky, které se shodují ve všech třech stranách, jsou stejné
• Věta USU – Dva trojúhelníky, které se shodují v jedné straně a úhlech ke straně

přilehlé, jsou shodné

• Věta SUS – Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném,

jsou shodné

• Věta Ssu – Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu proti větší

z nich, jsou shodné

• Věta UU – Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou úhlech, jsou podobné
• Věta SUS – Dva trojúhelníky, které se shoduj v poměru délek dvou stran a úhlu jimi

sevřeném, jsou podobné

Goniometrické funkce ostrého úhlu:

Příklad – trojúhelník:

Zadání: V trojúhelníku je úhel α dvakrát větší než úhel β. Jsou dány délky stran 𝑎 = √3 a
𝑏 = 1. Určete velikost vnitřních úhlů, délku strany c a poloměr kružnice trojúhelníku opsané.

Řešení: K vyřešení příkladu využijeme sinovou větu

𝛼 = 2𝛽 =>

𝑎

sin 2𝛽

=

𝑏

sin 𝛽

√3