12 – Posloupnosti a řady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
• Platí, že posloupnost má nejvýše jednu limitu
• Od omezenosti se liší tím, že limita má více možných využití
Zápis, čtení a výpočet limity posloupnosti:
• Limita posloupnosti (stejné je to i u funkcí) se zapisuje pomocí příkazu lim
• U posloupností se n blíží k nule, což musíme uvést ve spodním indexu
• Příkladem limity posloupnosti může být:
lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0
• Čteme jako: „Limita posloupnosti 1 lomeno n pro n blížící se k nekonečnu je nula.“
• Dále platí tyto základní vzorce pro limity posloupností:
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝑛
lim
𝑛→∞
𝑛 = ∞
• Zjednodušeně lze říci, že pokud je n ve jmenovateli, limita se blíží k nule
• A pokud je n v čitateli, limita takové posloupnosti se blíží k nekonečnu
• Dále platí i tyto vztahy:
lim
𝑛→∞
(𝑐1𝑎𝑛 + 𝑐2𝑏𝑛) = 𝑐1𝑎𝑛 + 𝑐2𝑏𝑛 ∀𝑐1, 𝑐2 ∈ 𝑅
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛𝑏𝑛 = 𝑎 × 𝑏
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
=
𝑎
𝑏
; 𝑏 ≠ 0
Finanční matematika:
• Nejčastější typy úloh se týkají změny ceny/hodnoty za dané časové období s pevně
daným (měsíčním) úbytkem/nárůstkem
• Pro řešení těchto úloh se nejčastěji používá vzoreček:
𝑎𝑛 = 𝑎0 (1 ± 𝑑
𝑝
100
)
𝑛
• 𝑎
𝑛 = konečný výsledek, 𝑎0 = počáteční hodnota, 𝑝 = procento, 𝑛 = počet období
• 𝑑 je daň z příjmu; ta se v různých státech může lišit, ale v ČR platí, že 𝑑 = 0,85
Finanční matematika – pojmy:
• Hrubý domácí produkt (HDP)1 – celková peněžní hodnota státu a jeho hospodářství
• Úrok – peněžitá odměna za půjčení peněz či za vedení účtu, nejčastěji vedené za rok
• Složené úrokování – úroky se počítají z aktuálního stavu konta
• Hrubá mzda – nezdaněný příjem zaměstnance, vždy se uvádí na pracovních nabídkách
• Čistá mzda – zdaněný příjem zaměstnance, hrubá mzda po odečtení daní
• Daň z příjmu – daň počítaná ze zisku fyzických (15 %) a právnických osob (19 %)
• Daň z přidané hodnoty (DPH) – nepřímá daň z navýšení hodnoty produktu
• Recese – pokles reálného HDP po dvě nebo více po sobě jdoucích čtvrtletí v roce
• Zůstatek – finanční stav, ve kterém se nachází firma/stát/… na konci daného období
• Schodek – záporný zůstatek; když jsou výdaje vyšší než příjmy
Příklad – finanční matematika:
Zadání: Na začátku roku je na účet vloženo 12 500 Kč s úrokovou mírou 6,2 %. Jak vysoká
bude částka na účtě na konci čtvrtého roku, pokud si v průběhu celé doby vkladatel nevybral
žádné úroky a je-li úrokovací období:
a) 1 rok
b) půl roku
Řešení: a) 𝑎𝑛 = 12500 (1 + 0,85
6,2
100
)
4
= 15 350,77 𝐾č
b)
𝑎𝑛 = 12500 (1 + 0,85
3,1
100
)
8
= 15 391,25 𝐾č
Definice řady:
konečná řada: ∑