12 – Posloupnosti a řady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
𝑎𝑛
𝑘
𝑛=1
nekonečná řada: ∑
𝑎𝑛
∞
𝑛=1
• Řada je součet prvků posloupnosti
• Řady se dělí na konečné (konečná posloupnost) a nekonečné (nekonečné posloupnosti)
• Členy posloupnosti se nazývají členy řady
• Konvergentní řada je řada, jejímž součtem je reálné číslo
• Divergentní řada je nekonečná řada, jejíž součet není reálné číslo
• Konvergentní má limitu, divergentní limitu nemá
Nekonečná geometrická řada:
• Vznikne z geometrické posloupnosti
• Nekonečná řada je konvergentní, když je absolutní hodnota kvocientu menší než jedna
• Je-li absolutní hodnota kvocientu větší nebo rovna 1, řada je divergentní
• Vzorec pro částečný součet konvergentní posloupnosti:
∑
𝑎𝑛 = lim𝑛→∞
∞
𝑛=1
𝑠𝑛 =
𝑎1
1 − 𝑞
1 Dříve se používal pojem Národní důchod
Důkaz vzorce součtu nekonečné geometrické řady:
• Vzhledem k tomu, že |𝑞| < 1, je posloupnost (𝑞𝑛)
𝑛=1
∞
konvergentní a
lim
𝑛→∞
𝑞𝑛 = 0
• Z tohoto vztahu vyplývá vzorec pro limitu posloupnosti:
lim
𝑛→∞
𝑠𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑎1 (
𝑞𝑛 − 1
𝑞 − 1
) =
𝑎1
1 − 𝑞
× lim
𝑛→∞
(𝑞𝑛 − 1) =
𝑎1
1 − 𝑞
( lim
𝑛→∞
𝑞𝑛 − lim
𝑛→∞
1) =
𝑎1
1 − 𝑞
Příklad – nekonečná geometrická řada:
Zadání:
Je dána posloupnost (𝑎𝑛 )𝑛=1
∞
𝑎𝑛 =
1
𝑛(𝑛+1)
. Zjistěte, zda je posloupnost konvergentní. Pokud
ano, vypočtěte její limitu.
Řešení:
𝑠1 =
1
2
𝑠2 =
1
2
+
1
6
=
2
3
𝑠3 =
1
2
+
1
6
+
1
12
=
3
4
𝑠 =
𝑎1
1 − 𝑞
=
1
2
1 −
1
𝑛
=
1
2
×
𝑛
𝑛 − 1
=
𝑛
2𝑛 − 2
Limitou posloupnosti je 1.
Příklad 1 – limita posloupnosti:
Zadání: Určete lim
𝑛→∞
(
1
𝑛
+ 5)
Řešení:
lim
𝑛→∞
(
1
𝑛
+ 5) = lim
𝑛→∞
1
𝑛
+ lim
𝑛→∞
5 = 0 + 5 = 5
Limitou posloupnosti je číslo 5.
Příklad 2 – limita posloupnosti:
Zadání: Určete lim
𝑛→∞
(
3𝑛+1
2𝑛
)
Řešení: Nejdříve každý člen výrazu vydělíme n a spočítáme zvlášť limity všech členů výrazu.
lim
𝑛→∞
(
3𝑛 + 1
2𝑛
) = lim
𝑛→∞
(
3𝑛
𝑛 +
1
𝑛
2𝑛
𝑛
) = lim
𝑛→∞
(
3 +
1
𝑛
2
) =
lim
𝑛→∞
3 + lim
𝑛→∞
1
𝑛
lim
𝑛→∞
2
=
3 + 0
2
=
3
2
Limitou posloupnosti jsou
3
2
.