12 – Posloupnosti a řady

𝑠𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 + ⋯ + 𝑎2 + 𝑎1

𝑠𝑛 = [𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑] + [𝑎1 + (𝑛 − 2)𝑑] + ⋯ + (𝑎1 + 𝑑) + 𝑎1

2𝑠𝑛 = 𝑛[𝑎1 + 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑]

𝑠𝑛 =

𝑛
2

(𝑎1 + 𝑎𝑛)

Důkaz vzorce pro vyjádření r-tého členu z s-tého členu:

𝑎𝑟 = 𝑎1 + (𝑟 − 1)𝑑

𝑎𝑠 = 𝑎1 + (𝑠 − 1)𝑑

𝑎𝑟 − 𝑎𝑠 = (𝑟 − 𝑠)𝑑 − (𝑠 − 1)𝑑

𝑎𝑟 = 𝑎𝑠 + (𝑟 − 𝑠)𝑑

Příklad – aritmetická posloupnost:

Zadání: Rozhodni, zda je číslo 71 člen aritmetické posloupnosti, v níž je 𝑎1 = −10 a 𝑑 = 4,5.

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 => 71 = −10 + (𝑛 − 1)𝑑 =>

81

4,5

= 𝑛 − 1 => 𝑛 = 19

Jelikož je 𝑛 přirozené číslo, 71 je členem dané aritmetické posloupnosti.

Geometrická posloupnost:

𝐺𝑃 <=> ∃𝑞 ∈ 𝑅; ∀𝑛 ∈ 𝑁: 𝑎𝑛+1 = 𝑎 × 𝑞

• Geometrická posloupnost je taková posloupnost, ve které platí, že každý člen

posloupnosti je násobkem 𝑞, což je reálné čísla, a 𝑛-tého členu posloupnosti, kde

𝑛 je přirozené číslo

• Každý člen je stálým násobkem členu předešlého
• Tento násobek se nazývá koeficient a značí se písmenem 𝑞
• Tuto posloupnost lze chápat jako zúžení exponenciální funkce na přirozená čísla

Vztahy v geometrické posloupnosti:

1.

𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞

𝑛−1 => zadání vzorcem pro 𝑛-tý člen

2.

𝑎𝑟 = 𝑎𝑠 × 𝑞

𝑟−𝑠 => vyjádření 𝑟-tého členu z 𝑠-tého členu posloupnosti

3.1.

𝑠𝑛 = 𝑎1 (

𝑞𝑛−1

𝑞−1

) => součet prvních 𝑛-členů posloupnosti, kde 𝑞 ≠ 1

3.2.

𝑠𝑛 = 𝑛 × 𝑎 => součet prvních n-členů posloupnosti, kde 𝑞 = 1

4. |

𝑎𝑛| = √|𝑎𝑛−1| × |𝑎𝑛+1| => vyjádření členu posloupnosti z geometrického průměru

Odvození vzorce pro vyjádření r-tého členu z s-tého členu:

𝑎𝑟 = 𝑎1 × 𝑞

𝑟−1

𝑎𝑠 = 𝑎1 × 𝑞

𝑠−1

𝑎𝑟
𝑎𝑠

=

𝑎1 × 𝑞

𝑟−1

𝑎1 × 𝑞𝑠−1

= 𝑞𝑟−𝑠

𝑎𝑟 = 𝑎𝑠 × 𝑞

𝑟−𝑠

Příklad – geometrická posloupnost:

Zadání: Mezi čísla 4 a 108 vložte dvě čísla tak, aby s danými čísly tvořila geometrickou

posloupnost a určete součet vložených členů.

Řešení:

𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞

𝑛−1

108 = 4 × 𝑞3

𝑞3 = 27

𝑞 = 3

𝑎1 × 𝑞 = 12 𝑎2 × 𝑞 = 36

Výsledkem bude posloupnost {4; 12; 36; 108}; součet dvou vložených členů je 48.

Limita posloupnosti:

∀𝜀 > 0: ∃𝑛 ∈ 𝑁: ∀𝑘 ≥ 𝑛: |𝑎𝑘 − 𝑎| < 𝜀

• Matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty dané posloupnosti blíží libovolně

blízko k nějakému bodu, ale NIKDY nebudou mít stejnou hodnotu

• Pro každé kladné číslo 𝜀 platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už

její hodnoty 𝐴 vzdáleny méně než 𝜀.