15 – Mnohoúhelníky

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Mnohoúhelníky

Definice

:

• Mnohoúhelník je část roviny vymezená úsečkami, které spojují 3 a více bodů
• Tyto body neleží na jedné přímce
• Počet stran, vrcholů a vnitřních úhlů je vždy stejný
• Tento počet udává název mnohoúhelníku
• Mezi mnohoúhelníky lze započítat i trojúhelník, ten se však běžně uvádí samostatně

Pojmy:

• Vrcholy jsou body, které určují mnohoúhelník (společný bod dvou úseček – stran)
• Strany mnohoúhelníku jsou úsečky spojené sousedními vrcholy
• Úhlopříčky mnohoúhelníku jsou úsečky, které spojují nesousední vrcholy
• Vnitřní úhly jsou úhly svírané vedlejšími stranami mnohoúhelníku
• Tětivový čtyřúhelník je takový, kterému lze opsat kružnici
• Tečnový čtyřúhelník je takový, kterému lze vepsat kružnici
• Pokud je čtyřúhelník tětivový a tečnový zároveň, nazývá se dvoustředový

Dělení mnohoúhelníků:

• Pravidelné (všechny strany a vnitřní úhly jsou stejné)
• Konvexní (všechny vnitřní úhly jsou menší než 180°)
• Pravoúhlé (všechny vnitřní úhly jsou pravé)

Obecné vzorce v mnohoúhelnících:

𝑠𝑛 = (𝑛 − 2) × 180°

• Vzorec pro výpočet součtu vnitřních úhlů v konvexním mnohoúhelníku
• 𝑛 je počet stran mnohoúhelníku

𝑝 =

𝑛(𝑛 − 3)

2

• Vzorec pro výpočet počtu úhlopříček v konvexním mnohoúhelníku

𝑆 =

1
4

𝑛𝑠2 cot

𝜋
𝑛

• Vzorec pro obsah pravidelného mnohoúhelníku, 𝑛 je počet vrcholů a 𝑠 je délka strany

Čtyřúhelníky:

• Čtverec

▪

Pravidelný pravoúhlý čtyřúhelník

▪

Délky jeho všech stran a velikosti vnitřních úhlů jsou stejné

• Obdélník

▪

Pravidelný pravoúhlý čtyřúhelník

▪ Jeho protilehlé strany mají stejnou délku, všechny vnitřní úhly jsou pravé

• Kosočtverec

▪

Kosočtverec je rovnoběžník, který má všechny strany stejně dlouhé

▪

Jeho protilehlé vnitřní úhly jsou stejně velké

▪

Má dvě úhlopříčky, které jsou na sebe kolmé, a jsou jeho osami souměrnosti

▪

Průsečík úhlopříček je střed kružnice vepsané kosočtverci

• Kosodélník – Rovnoběžník

▪

Čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou stejně dlouhé

▪

Protilehlé úhly jsou stejné, jejich součet je 360°, dva sousední úhly mají 180°

• Deltoid

▪

Konvexní čtyřúhelník tvořený dvěma dvojicemi stejných stran

▪

Tyto strany svírají protilehlé vnitřní úhly

▪

Žádné 2 strany nejsou rovnoběžné a je osově souměrný podle úhlopříčky AC

▪

Deltoid rozdělený úhlopříčkou BD tvoří symbol řeckého písmene delta

▪

Je to tečnový mnohoúhelník se středem kružnice na úhlopříčce AC

▪ Jsou-li úhly u vedlejších vrcholů pravé, jedná se o dvoustředový deltoid
▪

Nejznámějším případem deltoidu je papírový drak

• Lichoběžník