Lineární rovnice a nerovnice, rovnice s parametrem
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu DOC.
12.
Lineární rovnice a nerovnice, rovnice s parametrem
Lineární rovnice – každá rovnice tvaru ax+b=0, kde a,b jsou libovolná reálná čísla nebo komplexní čísla.
Obecně má rovnice ax+b=0, kde a∈ R, b∈ R tyto kořeny:
a ≠ 0 a = 0 ∧ b = 0 a = 0 ∧ b ≠ 0 x= kořenem je každé reálné číslo množina kořenů je ∅ rovnice má právě 1 rešení rovnice má ∞ řešení rovnice nemá řešení K = {-b/a} K = R K = ∅Lineární nerovnice – s neznámou x∈ R nazvýváme každou nerovnici tvaru ax+b> 0, ax+b< 0, kde a,b jsou libovolná reálná čísla. O lineární nerovnosti se mluví také v případě, že má tvar ax+b ≥ 0, ax+b ≤ 0
Řešení rovnice - Pro její řešení v oboru R nebo C mohou nastat právě tyto tři případy:
a) je-li a≠ 0, je ekvivalentní s rovnicí ax= - b, takže má přávě jeden kořen
b) je-li a=b=0, má nekonečně mnoho řešení: jejím kořenem je každé reálné (komplexní) číslo
c) je-li a=0, b≠ 0, nemá žádné řešení
Řešení nerovnice – nerovnici ax+b >0, ax+b < 0 upravíme tak, že odečteme b od obou stran nerovnice (ekvivalentní úprava č.3) na tvar ax >c, ax <c (c= - b). Pro řešení pak mohou nastat tyto tři případy
a) a > 0 je ( ax > c a zároveň x > c/a) nebo (ax < c a zároveň x < c/a)
b) a < 0 je (ax > c a zároveň x < c/a) nebo (ax < c a zároveň x > c/a)
c) a = 0 je 0x > c nebo 0x < c. Podle toho, jakých hodnot nabývá c, je tato nerovnice splněna buď pro každé R anebo pro žádné R
Ekvivalentní úpravy rovnic
vzájemná výměna stran rovnice
nahrazení libovolné strany rovnice výrazem, který se jí rovná v celém oboru řešení rovnice
přičtením téhož čísla nebo výrazu s neznámou, který je definován v celém oboru řešení rovnice, k oběma stranám rovnice
vynásobění obou stran rovnice týmž číslem nebo výrazem s neznámou
umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany rovnice nezáporné
odmocnění obou stran rovnice přirozeným odmocnitelem, jestliže jsou obě strany rovnice nezáporné
zlogaritmování obou stran rovnice při témž základu, jsou-li obě strany rovnice kladné
Ekvivalentní úpravy nerovnic
vzájemná výměna stran nerovnice se současnou změnou znaku nerovnosti v obrácený
nahrazení libovolné strany nerovnice výrazem, který se jí rovná v celém oboru řešení nerovnice, přitom znak nerovnosti se nemění
přičtením téhož čísla nebo výrazu s neznámou, který je definován v celém oboru řešení, k oběma stranám nerovnice, znak nerovnosti se nemění
vynásobění obou stran nerovnice kladným číslem nebo výrazem s neznámou, přičemž znak nerovnosti se nemění
vynásobění obou stran nerovnice záporným číslem nebo výrazem s neznámou, přitom znak nerovnosti se změní v obrácený
umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany nerovnice nezáporné, přitom znak nerovnosti se nemění
odmocnění obou stran nerovnice přirozeným odmocnitelem, jestliže jsou obě strany nerovnice nezáporné, přitom zank nerovnosti se nemění