15 – Mnohoúhelníky
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
▪
Konvexní čtyřúhelník tvořený dvěma rovnoběžnými protějšími stranami
▪
Zbývající dvě strany lichoběžníku jsou různoběžné
▪
Vzdálenost základen se nazývá výška lichoběžníku
▪
Velikost střední příčky je dána vzorce
𝑎+𝑐
2
(
𝑎 a 𝑐 jsou základny)
• Pravoúhlý lichoběžník
▪
Lichoběžník, jehož základna a jedno rameno svírá pravý úhel
▪
Toto rameno je zároveň výškou pravoúhlého lichoběžníku
▪
Rotací pravoúhlého lichoběžníku vzniká komolý kužel
• Rovnoramenný lichoběžník
▪
Lichoběžník, jehož ramena jsou stejně dlouhá a úhly při základnách jsou stejné
▪
Je osově souměrný podle spojnice středů svých základen
▪
Rovnoramenný lichoběžník je tětivovým čtyřúhelníkem
Lichoběžník
Deltoid
Kosodélník
Pravidelný mnohoúhelník:
• Mnohoúhelník, který má všechny úhly a strany stejně velké
• Může být konvexní nebo hvězdicový
• Všechny vrcholy leží na kružnici opsané; její střed je průsečnicí úhlopříček
• Pravidelný 𝑛-úhelník má n os souměrnosti, je-li n sudé číslo (pak i střed souměrnosti)
Vzorce pro výpočet poloměrů kružnic v pravidelných mnohoúhelnících:
𝑟𝑜 =
𝑠
2 sin
180
𝑛
• Vzorec pro výpočet poloměru kružnice opsané mnohoúhelníku, 𝑠 = délka strany
𝑟𝑣 =
𝑠
2 tan
180
𝑛
• Vzorec poloměru kružnice vepsané mnohoúhelníku, 𝑠 = délka strany, 𝑛 = počet stran
Obvody a obsahy:
• Obvod v geometrii je kladné číslo, které představuje hraniční křivku a jeho délku
• Obsah v geometrii je kladné číslo, které vyjadřuje velikost plochy rovinného tělesa
Mnohoúhelník
Obsah
Obvod
Úhlopříčka
Čtverec
𝑆 = 𝑎2
𝑂 = 4𝑎
𝑒 = √𝑎2 + 𝑎2
Obdélník
𝑆 = 𝑎 × 𝑏
𝑂 = 2𝑎 + 2𝑏
𝑒 = √𝑎2 + 𝑏2
Kosočtverec
𝑆 =
𝑢1𝑢2
2
= 𝑎2 sin 𝛼
𝑂 = 4𝑎 = 2√𝑢1
2 + 𝑢
2
2
𝑒 = √4𝑎2 + 𝑓2 = 2𝑎 sin
𝛽
2
𝑓 = √4𝑎2 + 𝑒2 = 2𝑎 sin
𝛼
2
Kosodélník
𝑆 = 𝑎 × ℎ = 𝑎𝑏 sin 𝛼
𝑜 = 2(𝑎 + 𝑏)
𝑒 = √𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 cos 𝛼
𝑓 = √𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛼
Deltoid
𝑆 =
1
2
𝑒𝑓 = 𝑎𝑏 sin 𝜃∗
𝑂 = 2(𝑎 + 𝑏)
𝑎2 = 𝑒1
2 + 𝑓
1
2
Lichoběžník
𝑆 = 𝑝ℎ∗∗ =
𝑎 + 𝑐
2
ℎ
𝑂 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑
𝑒 = √𝑎2+𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛽
𝑓 = √𝑎2+𝑑2 − 2𝑎𝑑 cos 𝛼
* 𝜃
je úhel sevřený libovolnými stranami 𝑎 a 𝑏
** 𝑝 je délka střední příčky, ℎ je výška lichoběžníku
*** e označuje úhlopříčku |𝐴𝐶| (zpravidla tu delší), f označuje úhlopříčku |𝐵𝐷| (kratší)
Vzorec pro výška lichoběžníku:
ℎ =
2
|𝑎 − 𝑐|
√(
𝑜
2
− 𝑎) (
𝑜
2
− 𝑐) (
𝑜
2
− 𝑏 − 𝑐) (
𝑜
2
− 𝑑 − 𝑐)
• ℎ je výška lichoběžníku, 𝑜 je obvod lichoběžníku, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 jsou strany lichoběžníku
• Tento vzorec vychází z Heronova vzorce pro obsah