15 – Mnohoúhelníky

▪

Konvexní čtyřúhelník tvořený dvěma rovnoběžnými protějšími stranami

▪

Zbývající dvě strany lichoběžníku jsou různoběžné

▪

Vzdálenost základen se nazývá výška lichoběžníku

▪

Velikost střední příčky je dána vzorce

𝑎+𝑐

2

(

𝑎 a 𝑐 jsou základny)

• Pravoúhlý lichoběžník

▪

Lichoběžník, jehož základna a jedno rameno svírá pravý úhel

▪

Toto rameno je zároveň výškou pravoúhlého lichoběžníku

▪

Rotací pravoúhlého lichoběžníku vzniká komolý kužel

• Rovnoramenný lichoběžník

▪

Lichoběžník, jehož ramena jsou stejně dlouhá a úhly při základnách jsou stejné

▪

Je osově souměrný podle spojnice středů svých základen

▪

Rovnoramenný lichoběžník je tětivovým čtyřúhelníkem

Lichoběžník

Deltoid

Kosodélník

Pravidelný mnohoúhelník:

• Mnohoúhelník, který má všechny úhly a strany stejně velké
• Může být konvexní nebo hvězdicový
• Všechny vrcholy leží na kružnici opsané; její střed je průsečnicí úhlopříček
• Pravidelný 𝑛-úhelník má n os souměrnosti, je-li n sudé číslo (pak i střed souměrnosti)

Vzorce pro výpočet poloměrů kružnic v pravidelných mnohoúhelnících:

𝑟𝑜 =

𝑠

2 sin

180

𝑛

• Vzorec pro výpočet poloměru kružnice opsané mnohoúhelníku, 𝑠 = délka strany

𝑟𝑣 =

𝑠

2 tan

180

𝑛

• Vzorec poloměru kružnice vepsané mnohoúhelníku, 𝑠 = délka strany, 𝑛 = počet stran

Obvody a obsahy:

• Obvod v geometrii je kladné číslo, které představuje hraniční křivku a jeho délku
• Obsah v geometrii je kladné číslo, které vyjadřuje velikost plochy rovinného tělesa

Mnohoúhelník

Obsah

Obvod

Úhlopříčka

Čtverec

𝑆 = 𝑎2

𝑂 = 4𝑎

𝑒 = √𝑎2 + 𝑎2

Obdélník

𝑆 = 𝑎 × 𝑏

𝑂 = 2𝑎 + 2𝑏

𝑒 = √𝑎2 + 𝑏2

Kosočtverec

𝑆 =

𝑢1𝑢2

2

= 𝑎2 sin 𝛼

𝑂 = 4𝑎 = 2√𝑢1

2 + 𝑢

2

2

𝑒 = √4𝑎2 + 𝑓2 = 2𝑎 sin

𝛽

2

𝑓 = √4𝑎2 + 𝑒2 = 2𝑎 sin

𝛼

2

Kosodélník

𝑆 = 𝑎 × ℎ = 𝑎𝑏 sin 𝛼

𝑜 = 2(𝑎 + 𝑏)

𝑒 = √𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 cos 𝛼
𝑓 = √𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛼

Deltoid

𝑆 =

1
2

𝑒𝑓 = 𝑎𝑏 sin 𝜃∗

𝑂 = 2(𝑎 + 𝑏)

𝑎2 = 𝑒1

2 + 𝑓

1

2

Lichoběžník

𝑆 = 𝑝ℎ∗∗ =

𝑎 + 𝑐

2

ℎ

𝑂 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑

𝑒 = √𝑎2+𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛽

𝑓 = √𝑎2+𝑑2 − 2𝑎𝑑 cos 𝛼

* 𝜃

je úhel sevřený libovolnými stranami 𝑎 a 𝑏

** 𝑝 je délka střední příčky, ℎ je výška lichoběžníku
*** e označuje úhlopříčku |𝐴𝐶| (zpravidla tu delší), f označuje úhlopříčku |𝐵𝐷| (kratší)

Vzorec pro výška lichoběžníku:

ℎ =

2

|𝑎 − 𝑐|

√(

𝑜
2

− 𝑎) (

𝑜
2

− 𝑐) (

𝑜
2

− 𝑏 − 𝑐) (

𝑜
2

− 𝑑 − 𝑐)

• ℎ je výška lichoběžníku, 𝑜 je obvod lichoběžníku, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 jsou strany lichoběžníku
• Tento vzorec vychází z Heronova vzorce pro obsah