18 – Tělesa

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Tělesa

Definice

:

• V geometrii jsou tělesa trojrozměrné ohraničené útvary
• Tělesy a jejich zobrazeními se zabývá stereometrie

Pojmy:

• Mnohostěn (polyedr) je trojrozměrné těleso tvořené konečným počtem stěn tvořených

mnohoúhelníky (část roviny vymezená úsečkami, které se protínají ve vrcholech)

• Mnohostěny označujeme podle počtu jejich stěn (typicky 4 a více)
• Speciálními případy mnohostěnů jsou krychle a kvádr
• Konvexní mnohostěn je takový mnohostěn, jehož všechny stěny jsou navzájem shodné

𝑛-úhelníky a zároveň z každého vrcholu vychází stejný počet hran

• Rotační tělesa jsou trojrozměrná tělesa, která vzniknou rotací rovinného útvaru kolem

přímky , která se označuje jako osa rotace

• Tato osa rotace leží ve stejné rovině jako daný geometrický útvar
• Osa rotace může, ale nemusí procházet daným geometrickým tělesem
• Hrana je průsečík dvou sousedních stěn mnohostěnu
• Vrchol je bod, ve kterém se setkávají nejméně 3 hrany
• Stěna je v geometrii rovinný útvar, která je ohraničena hranami a spolu s dalšími

stěnami vymezuje objem tělesa

• Každý mnohočlen musí mít alespoň 4 strany

Eulerova věta:

𝑣 − ℎ + 𝑠 = 2

• Udává obecný vztah mezi vrcholy, hranami a stěnami konvexního mnohostěnu
• 𝑣 = počet vrcholů, ℎ = počet hran, 𝑠 = počet stěn konvexního mnohostěnu

Rozdělení těles:

1. Mnohostěny:

• Hranol

▪ Má 2 shodné podstavy, které leží v rovnoběžných rovinách
▪ Jedná se o shodné n-úhelníky
▪ Boční stěny hranolu jsou rovnoběžníky
▪ Jsou-li vedlejší stěny obdélníky nebo čtverce, hranol je kolmý

• Jehlan

▪ Podstava je n-úhelník
▪ Všechny jehlany mají vrchol
▪ Boční stěny jsou trojúhelníky
▪ Z vrcholů podstavy jsou vedeny hrany, které se setkávají ve vrcholu
▪ Kolmá vzdálenost vrcholu od roviny podstavy se nazývá výška

2. Rotační tělesa:

• Válec

▪ Vznikne rotací obdélníku nebo čtverce kolem jedné z jeho stran
▪ Jedna strana je výška, druhá je součást pláště
▪ Válec je vymezen dvěma rovnoběžnými podstavami (kruhy) a pláštěm

• Kužel

▪ Vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem jedné z jeho odvěsen
▪ Povrch kužele je definován jako součet velikosti pláště a podstavy kužele
▪ Kosý kužel je takový, jehož výška není rovnoběžná s podstavou
▪ Bod, ve kterém se rovinný řez kužele redukuje na bod, se nazývá vrchol

• Komolý rotační kužel

▪ Vznikne rotací pravoúhlého lichoběžníku podél přímky kratšího ramene
▪ Může také vzniknout rotací rovnoramenného lichoběžníku kolem osy

základny (přímka, která prochází středem základny a je k ní kolmá)

▪ Část kužele, která leží mezi 2 rovnoběžnými rovinami kužele
▪ Tyto roviny se označují jako horní a dolní podstava