18 – Tělesa
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Část koule
Objem
Povrch
Kulová úseč
𝑉 =
1
6
𝜋𝑣(3𝜌2 + 𝑣2)∗
𝑆 = 2𝜋𝑟𝑣 + 𝜋𝜌2
Kulová výseč
𝑉 =
2
3
𝜋𝑟2𝑣
𝑆 = 2𝜋𝑟𝑣 + 𝛺𝑟2
∗∗
*
𝜌 = poloměr kružnice úseče 𝑣 = výška úseče
**
𝛺 = prostorový úhel
Těleso
Objem
Povrch
Kužel
𝑉 =
1
3
𝜋𝑟2𝑣
𝑆 = 𝜋𝑟2 + 𝜋𝑟𝑠∗
Komolý kužel
𝑉 =
𝜋𝑣
3
(𝑟1
2 + 𝑟
1𝑟2 + 𝑟2
2)
𝑆 = 𝜋𝑟1
2 + 𝜋𝑟
2
2 + 𝑆
𝑝𝑙
∗∗
Koule
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 =
1
6
𝜋𝑑3
𝑆 = 4𝜋𝑟2 = 𝜋𝑑2
Válec
𝑉 = 𝜋𝑟3𝑣
𝑆 = 2𝜋𝑟(𝑟 + 𝑣)
Jehlan
𝑉 =
1
3
𝑆𝑝𝑣
𝑆 = 𝑆𝑝 + 𝑛𝑆∆ (n=počet stran)
Komolý jehlan
𝑉 =
𝑣
3
(𝑆1 + √𝑆1𝑆2 + 𝑆2)
𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆𝑝𝑙
Torus
𝑉 = 2𝜋2𝑅𝑟2 = (𝜋𝑟2)(2𝜋𝑅)∗∗∗
𝑆 = 4𝜋2𝑅𝑟 = (2𝜋𝑅)(2𝜋𝑟)
Platónské těleso:
• Pravidelný konvexní mnohostěn v prostoru, u něhož z každého vrcholu vychází stejný
počet hran a stěny tělesa tvoří shodné pravidelné mnohoúhelníky, je Platónské těleso
• Definici vyhovuje právě 5 těles: čtyřstěn, krychle, osmistěn, dvanáctistěn, dvacetistěn
• U Platónských těles najdeme duální tělesa
• Dvě tělesa jsou duální, pokud je počet hran a počet stěn převrácený roven počtu hran a
počtu stěn druhého tělesa
• Krychle je duální k osmistěnu (krychle: 6 stran, 8 vrcholů; osmistěn: 8 stěn, 6 vrcholů)
Platónské
těleso
Počet
hran
Počet
vrcholů
Typ stěny
Povrch
Objem
Čtyřstěn
6
4
trojúhelník
𝑃 = √3𝑎2
𝑉 =
√2
12
𝑎2
Krychle
12
5
čtverec
𝑃 = 6𝑎2
𝑉 = 𝑎2
Osmistěn
12
6
trojúhelník
𝑃 = 2√3𝑎2
𝑉 =
√2
3
𝑎2
Dvanáctistěn
30
20
pětiúhelník 𝑃 = 3√25 + 10√5𝑎2 𝑉 =
1
4
(15 + 7√5)𝑎2
Dvacetistěn
30
12
trojúhelník
𝑃 = 5√3𝑎2
𝑉 =
5
12
(3 + √5)𝑎2
Příklad:
Zadání: Komín tvaru komolého rotačního kužele má výšku 32 m, průměr dolní podstavy 3,2
m a 2 m a průměr horní podstavy 1,7 m a 1,2 m. Jaká je celková hmotnost komínu, pokud je
hustota zdiva 1600 kg/m
3?
Řešení: Příklad budeme počítat jako rozdíl objemů u komolého kuželu.
𝑉 =
1
3
𝜋𝑣(𝑟1
2 + 𝑟
1𝑟2 + 𝑟2
2) −
1
3
𝜋𝑣(𝑟1
2 + 𝑟
1𝑟2 + 𝑟2
2)
𝑉 =
32
3
𝜋 × (1,62 + 1,6 × 1 + 12) −
32
3
𝜋(0,852 + 0,85 × 0,6 + 0,62)
𝑉 =
21379𝜋
400
≅ 167,9 𝑚2
𝑚 = 𝜌 × 𝑉 = 1600 × 167,9 = 268 640 𝑘𝑔 = 268,6 tun
Komín bude vážit 268,6 tun.