18 – Tělesa

• Koule

𝐾 = {𝑦 ∈ 𝑃: 𝜌(𝑦, 𝑥) ≤ 𝑟}

▪ Rotační těleso, které vznikne rotací kruhu podél osy procházející středem
▪ Je to množina všech bodů v trojrozměrném eukleidovském prostoru,

jejichž vzdálenost od středu je menší nebo rovna zadanému poloměru

▪ Body, jejichž vzdálenost je právě rovna poloměru, jsou kulová sféra

• Anuloid (Torus)

▪ Rotační plocha, která vznikne otáčením kružnice kolem osy, která leží ve

stejné rovině a nemá s kružnicí žádný společný bod

▪ Kromě anuloidu, který je typicky definován jako prostorový útvar dvou

kružnic, existují 𝑛-rozměrné anuloidy tvořené 𝑛 kružnicemi

▪ Anuloid, který vznikne rotací kružnice, je vevnitř dutý; anuloid, který

vznikne rotací kruhu, je zevnitř vyplněný

Řezy těles:

• Řez tělesa rovinou je průnik tělesa a roviny
• Je to rovinný útvar, jehož hranice je průnik tělesa a roviny řezu
• Hranice řezu hranolu/jehlanu, se skládá z průniků roviny řezu stěnami hranolu/jehlanu
• Sestrojit řez roviny tedy znamená sestrojit průsečnice dané roviny s rovinami

jednotlivých tělesových stěn.

Příklad 1 – řez těles:

Zadání: Proveďte řez krychle ABCDEFGH rovinou

DEK, kde K leží v polovině strany BF.

Příklad 2 – řezy těles:

Zadání: Proveďte řez jehlanu ABCDV rovinou PQR

Postup řešení:

1. |

𝐷𝐸| (Spojíme body D a E)

2.

𝑋 (Najdeme bod X na hraně BC)

3. |

𝐾𝑋| (Uděláme rovnoběžku s DE bodem K)

4. |

𝐸𝐾| (Spojíme body E a K)

Postup řešení:

1.

𝑃𝑄

⃡ (Body P a Q vedeme přímku)

2.

𝐴𝐷

(Prodloužíme úsečku AD)

3.

𝐷𝐶

(Prodloužíme úsečku DC)

4.

𝑈 (Průnikem AD a PQ vznikl bod U)

5.

𝑊 (Průnikem DC a PQ vznikl bod W)

6.

𝑊𝑅

⃡ (Body W a R vedeme přímku)

7.

𝑍 (Průnikem WD a CV vzniká bod Z)

8.

𝑌 (Průnikem WD a DV vzniká bod Y)

9.

𝑈𝑌

⃡ (Body U a Y vedeme přímku)

10.

𝑋 (průnikem UY a AV vzniká bod X)

11. |

𝑋𝑃| (Spojíme body X a P)

12. |

𝑄𝑍| (Spojíme body Q a Z)

13. |

𝑋𝑃| (Spojíme body X a P)

Objemy a povrchy těles:

• Objem tělesa je kladné reálné číslo, přiřazené k tělesu tak, že platí:

1. Shodná tělesa mají stejný objem
2. Jestliže se těleso skládá z několika navzájem se neprokládajících těles, je

objem tohoto tělesa roven součtu objemů těchto těles

3. Krychle o délce strany 1 má objem 1 jednotka krychlová

*

𝑠 = přepona trojúhelníku

**

𝑆𝑝𝑙 = 𝜋(𝑟1 + 𝑟2)√𝑣2 + (𝑟1 − 𝑟2)2 (obsah pláště)

***

𝑅 = vzdálenost středu trubice od středu toru 𝑟 = poloměr kružnice

Koule a její části:

• Kulová úseč je část koule daná řezem koule rovinou, dělí se na vrchlík a kružnici
• Kulová výseč je rotační těleso, které vznikne rotací kruhové výseče
• Hranice kulové úseče se skládá z kruhové podstavy a části kulové plochy (vrchlíku)