Pravděpodobnost

9.

Pravděpodobnost

Počet pravděpodobnosti se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech, tj. v činnostech, jejichž výsledek je závislý na náhodě (např. hod hrací kostkou, hod mincí, losování loterie, střelba do terče, atd.). Zákonitosti počtu pravděpodobnosti mají hromadný charakter, tj. platí jen při dostatečně velkém počtu pokusů.

Množina možných výsledků pokusů.

Předpoklad: u každého náhodného pokusu jsme schopni předem vyjmenovat všechny jeho možné výsledky, a to tak, že se navzájem vylučují a že jeden z nich nastane vždy. Množinu takových výsledků nazveme množinou všech možných výsledků pokusu. Budeme jí značit Ω (omega) a její libovolný prvek značíme ω (malá omega).

Jevy – každou podmnožinu Ω nazýváme náhodným jevem. Značí se tiskacími písmeny (A,B). Vyjadřuje jakékoliv tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o kterém lze rozhodnout, zda je pravdivé. Prvkům jevu A říkáme výsledky příznivé jevu A.

Je-li pravdivé → jev nastává

Není-li pravdivé → jev nenastává

Pokud je celá množina Ω → jev jistý

Pokud je celá podmnožina → nastane málokdy

Pokud je prázdná množina → jev nemožný

Má-li množina Ω m prvků, pak existuje 2m různých jevů. ω∈ A

A ⊂ B jev A je podjevem jevu B

A ∪ B sjednocení jevu A a B

A ∩ B průnik jevu A a B

A ∩ B=∅ jevy A a B se navzájem vylučují

A‘ opačný jev k jevu A (jev nastává když jev A nenastane)

Pravděpodobnost – Má-li náhodný pokus m možných výsledků, pak o každém z nich řekneme, že má pravděpodobnost . p(ω)= pro všechna ω∈ Ω

Relativní četnost – Mějme nějaký pokus s množinou možných výsledků Ω. Proveďmě tento pokus celkem n-krát a pro katdý možný výsledek ω zaznamenejme, kolik pokusů skončilo právě tímto výsledkem. Toto číslo n (ω) nazveme četností výsledku ω.

- relativní četnost výsledku ω v n pokusech

Četnosti n(ω) jsou celá nezáporná čísla, jejichž součet se rovná n; relativní četnosti jsou nezáporné zlomky, jejichž součet se rovná 1.

Pravděpodobnost jevu – Pravděpodobnost jevu A, označujeme ji P(A), se definuje jako součet pravděpodobností výsledků příznivých jevu A.

P(A)= - zápis vpravo značí součet těch čísel p(ω), která odpovídají prvkům ω∈ A

Když pokus má m stejně pravděpodobných výsledků, platí tedy: P(A)= ;

počet příznivých výsledků / počet všech možných výsledků.

Pravděpodobnost nemožného jevu je rovna nule, P(∅)=0

Pravděpodobnost jistého jevu je rovna jedné, P(Ω)=1

Pro pravděpodobnost libovolného jevu A platí 0≤ P(A)≤ 1

Sčítání pravděpodobností

jevy A a B se navzájem vylučují, tj. A ∩ B=∅. P(A ∪ B)=P(A) + P(B).

(pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem se vylučujících jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností)

Pravděpodobnost, že nastane alespoň jeden z jevů A,B P(A ∪ B)=P(A)+P(B) – P(A ∩ B)