Množiny a množinové operace
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu DOC.
Pojmy: množina, zadání množin (způsob určení), množinové vztahy a operace, grafické znázornění množin, kartézský součin, relace, zobrazení
Množina – soubor libovolných, navzájem různých objektů, které mají určitou vlastnost V. Množina je určená, jestliže o každém objektu množiny (prvku množiny) lze jednoznačně rozhodnout, zda danou vlastnost V má nebo nemá (jestli do množiny patří nebo ne).
Specifická množina je prázdná.
Zadání množin - Výčtem prvků (M= {x1,x2,x3}) – používá se u konečných (M= 1,3,5) množin, nekonečné vyjímkou (M= 1,3,5...)
: charakteristickou vlastností (M= {x∈U, V (x)})
U – základní univerzální množina – obsahuje všechny objekty, které nás v dané situaci zajímají
Množinové vztahy – inkluze – (A⊂ B) – u výroků implikace (∀ x∈ U; x∈A ⇒ x∈ B)
každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B
rovnost – (A = B) – u výroků ekvivalence (∀ x∈ U; x∈A ⇔ x∈ B)
všechny prvky množin A a B jsou tytéž
Množinové operace – sjednocení - (A ∪ B) – u výroků alternativa ( x∈ U; x∈A ∨ x∈ B)
prvky patří alespoň do jedné z množin A a B
průnik - (A ∩ B) – u výroků konjunkce ( x∈ U; x∈A ∧ x∈ B)
prvky patří do A a zároveň do B
rozdíl - (A - B) – u výroků konjunkce a negace ( x∈ U; x∈A ∧ x≠ B)
prvky patří do množiny A a zároveň nepatří do množiny B
doplněk - (A ⊂ B; B – A ) – doplněk množiny A v množině B ... A‘B
prvky patří do množiny B a nepatří do množiny A
sjednocení: průnik:
Grafické znázornění – množinové diagramy; množiny disjunktní - A ∩ B =∅
Vénovy diagramy
Znázornění množin na číselné ose (i v Gaussově rovině s komplexníma číslama)
Znázornění množin šrafováním a hranicí
Sjednocením: rovina; průnik: úhel
Kartézský součin – nejmenší n-tice (musí být konečná); uspořádaná dvojice bodů
Nechť je dán systém množin M1, M2... Mn (n∈N; n≥2). Vytvořme množinu všech uspořádaných n-tic prvků x1∈ M1; x∈ M2 ... Mn (v uvedeném pořadí)
Př. A, B
[x1, x2] x1∈ A; x2∈ B AxB
Př. A={a, b, c} B={b, c, d} C={c}
AxB={[a, b]; [a, c]; [a, d]; [b, b]; [b, c]; [b, d]; [c, b]; [c, c]; [c, d]}
Počet prvků kartézského součinu je MxN=M.N
Zobrazujeme je v pravoúhlé soustavě souřadnic.
Prvky množiny a – osa x; b – osa y
Relace – binární relace (U) je každá podmnožina kartézského součinu zpravidla daná nějakou podmínkou, kterou musí prvky x, y splňovat nebo jen uspořádaná dvojice z kartézského součinu.
∀ x∈A je první obor – definiční ∀ x∈ B je druhý obor – obor hodnot
Zobrazení – je taková relace, kde ke každému x∈ A existuje nejvýše jeden prvek y∈ B, takový že uspořádaná dvojice [x, y] ∈ F
F – množina všech uspořádaných dvojic [x, y] ∈ AxB
Zobrazení A do B – D(F)=A; H(F)⊂B
z A všechny prvky, z B jen některé