22 – Hyperbola

• Ty určíme jakožto přímky rovnoběžné s asymptotami
• Prochází-li asymptotická sečna daným bodem, dosadíme ho do rovnice asymptoty a

výsledek zapíšeme jako c do té samé rovnice.

Určení ohnisek a vrcholů:

1. Osa hyperboly je rovnoběžná s osou x:

• Ohniska určíme podle excentricity e a vrcholy podle délky hlavní poloosy (a)

2. Osa hyperboly je rovnoběžná s osou y:

• Ohniska určíme podle excentricity e a vrcholy podle délky vedlejší poloosy (b)

Lomená lineární funkce:

• Speciálním příkladem hyperboly je lomená lineární funkce
• 𝑦 =

𝑎𝑥+𝑏

𝑐𝑥+𝑑

, 𝑐𝑥 ≠ −𝑑, 𝑐𝑏 − 𝑎𝑑 ≠ 0 (jinak se jedná o funkci konstantní)

• Lomená lineární funkce je rovnoosá hyperbola, kde osy 𝑥 a 𝑦 jsou asymptotami

(𝑥 − 𝑚)(𝑦 − 𝑛) = 𝑐 𝑐 = ±

𝑎2

2

= ±

𝑏2

2

• Vrcholový tvar rovnice hyperboly s asymptotami totožnými s o osami 𝑥 a 𝑦
• Pro určení středu provedeme dělení mnohočlenů čitatele a jmenovatele

Příklad 1:

Zadání: Určete středovou rovnici a asymptoty hyperboly se středem

𝑆[2; −1], ohniskem

𝐸[7; −1] a vrcholem 𝐴[5; −1]

Řešení:

• Ze souřadnic určíme hlavní poloosu (𝑎 = |𝑆𝐴| = 3) a excentricitu (𝑒 = |𝑆𝐸| = 5)
• Z hodnot 𝑎 a 𝑒 vypočítáme koeficient 𝑏, který zjistíme vzorcem (𝑏 = √𝑒2 − 𝑎2)
• Ze souřadnice bodů 𝑆 a 𝐸 zjistíme, že hlavní osa hyperboly je rovnoběžná s osou 𝑥
• Do vzorců doplníme vypočítané hodnoty

(𝑥 − 2)2

9

−

(𝑦 + 1)2

16

= 1

𝑥 − 2

3

= ±

𝑦 + 1

16

Příklad 2:

Zadání: Najděte střed, asymptoty, hlavní vrcholy a ohniska hyperboly dané rovnicí:
9𝑥2 − 90𝑥 − 16𝑦2 − 96𝑦 + 225 = 0.

Řešení:

9𝑥2 − 90𝑥 − 16𝑦2 − 96𝑦 + 225 = 0

9(𝑥2 − 10𝑥 + 25) − 9 × 25 − 16(𝑦2 + 6𝑦 + 9) + 16 × 9 + 225 = 0

9(𝑥 − 5)2 − 16(𝑦 + 3)2 = −144

(𝑦 + 3)2

9

−

(𝑥 − 5)2

16

= 1

𝑆[5; −3] 𝐸[5; 2] 𝐹[5; −8] 𝐴[5; 0] 𝐵[5; −6]

𝑟𝑜𝑣𝑛𝑖𝑐𝑒 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡: 𝑎1: 3𝑥 − 4𝑦 − 27 = 0 𝑎2: 3𝑥 + 4𝑦 + 3 = 0