Komplexní čísla
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu DOC.
6.
Komplexní čísla
Komplexní číslo – každé číslo ve tvaru a+bi, kde a,b jsou reálná čísla a i je číslo pro něž platí i2=-1
a+bi a=reálná část, b=imaginární část, i=imaginární jednotka
i0=1 i1=i i2=-1 i3=-iPř. (1+2i)(3-1)=3-i+6i-2i2=3+5i+2=5+5i
Př. i55=i3=-i
Komplexní čísla sdružená s číslem a+bi je číslo a-bi.
Značí se Z
Př. 3-3i=3+3i
Př. 2i=-2i
Př. √ 2=√ 2
Dělení komplexních čísel
Př.
Absolutní hodnota komplexního čísla - |Z|=√ ZZ |z|=√ a3b3
vyjadřuje vzdálenost obrazu komplexního čísla od počátku Gaussovy roviny
Př. z=(1+i)
|z|=√ (1+i)(1-i)=√ 2
|z|=√a3b3
|z1z2|=|z1||z2|
|z1/z2|=|z1|/|z2|
Komplexní jednotka – komplexní číslo, jehož absolutní hodnota = 1
Obrazy komplexních jednotek vyplní v Gaussově rovině jednotkovou kružnici se středem O(0,0). Číslo (0,1) se označuje i a nazývá se imaginární jednotka
Př. i...... 0+1i=√ 02+12=1
Geometrické znázornění – rovina komplexních čísel, neboli Gaussova rovina, je rovina, jejíž body považujeme za obrazy komplexních čísel
osa x – reálná část, reálná osa
osa y – imaginární část, imaginární osa
Př. (2+2i), (1-3i)
Př. V Gaussově rovině zobrazte všechna komplexní čísla, pro něž platí: |1+i|≥ |z| > ½
√ 1+i≥ |z|
√ 2≥ |z|
Př. |z-i|≥ |z+1-2i| (|z-i| - vzdálenost čísla komplexního od imaginárního
|z-(-1+2i)|
i≥ -1+2i
– z=|z|(cosφ+i sinφ) |z|=√a2+b2
cosφ=a / |z| sinφ=b / |z|
Př. z=2-2i
|z|=√ 8=2√ 2
Př. z=4(cosπ/6+i sin π/6)
Pravidla: z1 z2=|z1|.|z2|(cos(φ1+φ2)+i sin (φ1+φ2)
Moivrova věta: [|z|(cosφ + i sinφ)]n=|z|n(cos n φ+ i sin n φ)
Př. z=(-1+i√3)6