Komplexní čísla

6.

Komplexní čísla

Komplexní číslo – každé číslo ve tvaru a+bi, kde a,b jsou reálná čísla a i je číslo pro něž platí i2=-1

a+bi a=reálná část, b=imaginární část, i=imaginární jednotka

Př. (1+2i)(3-1)=3-i+6i-2i2=3+5i+2=5+5i

Př. i55=i3=-i

Komplexní čísla sdružená s číslem a+bi je číslo a-bi.

Značí se Z

Př. 3-3i=3+3i

Př. 2i=-2i

Př. √ 2=√ 2

Dělení komplexních čísel

Př.

Absolutní hodnota komplexního čísla - |Z|=√ ZZ |z|=√ a3b3

vyjadřuje vzdálenost obrazu komplexního čísla od počátku Gaussovy roviny

Př. z=(1+i)

|z|=√ (1+i)(1-i)=√ 2

|z|=√a3b3

|z1z2|=|z1||z2|

|z1/z2|=|z1|/|z2|

Komplexní jednotka – komplexní číslo, jehož absolutní hodnota = 1

Obrazy komplexních jednotek vyplní v Gaussově rovině jednotkovou kružnici se středem O(0,0). Číslo (0,1) se označuje i a nazývá se imaginární jednotka

Př. i...... 0+1i=√ 02+12=1

Geometrické znázornění – rovina komplexních čísel, neboli Gaussova rovina, je rovina, jejíž body považujeme za obrazy komplexních čísel

osa x – reálná část, reálná osa

osa y – imaginární část, imaginární osa

Př. (2+2i), (1-3i)

Př. V Gaussově rovině zobrazte všechna komplexní čísla, pro něž platí: |1+i|≥ |z| > ½

√ 1+i≥ |z|

√ 2≥ |z|

Př. |z-i|≥ |z+1-2i| (|z-i| - vzdálenost čísla komplexního od imaginárního

|z-(-1+2i)|

i≥ -1+2i

– z=|z|(cosφ+i sinφ) |z|=√a2+b2

cosφ=a / |z| sinφ=b / |z|

Př. z=2-2i

|z|=√ 8=2√ 2

Př. z=4(cosπ/6+i sin π/6)

Pravidla: z1 z2=|z1|.|z2|(cos(φ1+φ2)+i sin (φ1+φ2)

Moivrova věta: [|z|(cosφ + i sinφ)]n=|z|n(cos n φ+ i sin n φ)

Př. z=(-1+i√3)6