17 – Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin

Základní pojmy:

• Bod je základní bezrozměrný útvar, který již nelze dále dělit
• Přímka je nekonečně dlouhá křivka s nekonečně velkým poloměrem zakřivení
• Příkladem přímky je osa nebo trajektorie fotonu neovlivněného gravitací
• Polopřímka je část přímky, která vznikne rozdělením přímky jedním bodem
• Úsečka je průnik dvou polopřímek, má pevně dané hraniční body
• Rovina je dvourozměrná nekonečná rovinná plocha
• Rovinu můžeme zadat 3 body (neležící na jedné přímce) či přímkou a vnějším bodem

Definice vektoru:

• Vektory jsou orientované úsečky se stejnou velikostí a stejným směrem
• Množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost a směr je vektor
• Každá z těchto úseček se nazývá umístění vektoru
• Nulový vektor je množina všech nenulových úseček (počáteční a koncový bod splývá)
• Orientovaná úsečka je úsečka, u které rozlišujeme počáteční a koncový bod
• Souřadnice vektoru určíme jako rozdíl souřadnic koncového a počátečního bodu
• Vektor se značí jako malé písmeno s šipkou či jeho koncovými body s šipkou
• Vektoru přiřadíme čísla, která reprezentují polohu koncového bodu, pokud se

počáteční bod nachází ve středu soustavy souřadnic

𝐴[2; 1] 𝐵[3; 5] 𝑢

⃗ = 𝐴𝐵

⃗⃗⃗ = (3 − 2; 5 − 1) = (1; 4)

Operace s vektory:

1. Sčítání vektorů:

𝑢 + 𝑣 = (𝑢1 + 𝑣1; 𝑢2 + 𝑣2)

2. Velikost vektorů: |

𝑢| = √𝑢1

2 + 𝑢

2

2

3. Opačný vektor:

𝑢 = (𝑢1; 𝑢2) ↔ −𝑢 = (−𝑢1; −𝑢2)

4. Odčítání vektorů:

𝑤 = 𝑢 + (−𝑣)

5. Násobení vektorů reálným číslem:

𝑘 × 𝑢 = (𝑘𝑢1; 𝑘𝑢2) 𝑘 ∈ 𝑅

6. Skalární součin vektorů:

𝑢

⃗ × 𝑣 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2

7. Odchylka vektorů: |

∢𝑢

⃗ ; 𝑣 |: cos 𝜑 =

𝑢

⃗ ×𝑣

⃗

|𝑢

⃗ ||𝑣

⃗ |

8. Kolmost vektorů v rovině:

𝑢

⃗ × 𝑣 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 = 0 𝑢⃗ ┴𝑣 (𝑢2; – 𝑢1) 𝑢⃗ ┴𝑣 (– 𝑢2; 𝑢1)

9. Vzdálenost bodu od přímky:

𝑑 (𝐴, 𝑝) =

|𝑎𝑎1+𝑏𝑎1+𝑐|

√𝑎2+𝑏2

𝐴[𝑎1; 𝑎2] 𝑝: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐

10. Smíšený součin: 𝑉 = |𝑎 × (𝑏⃗ × 𝑐 )| = 𝑎1𝑏2𝑐3 − 𝑎1𝑏3𝑐2 + 𝑎2𝑏3𝑐1 − 𝑎2𝑏1𝑐3 + 𝑎3𝑏1𝑐2 − 𝑎3𝑏2𝑐1

11. Vektorový součin:

𝑤

⃗ (𝑢2𝑣3 − 𝑣2𝑢3; 𝑢3𝑣1 − 𝑣3𝑢1; 𝑢1𝑣2 − 𝑣1𝑢2)

12. Odchylka přímky od přímky:

cos 𝜑 =

|𝑠𝑝

⃗⃗ ×𝑠𝑞

⃗⃗ |

|𝑠𝑝

⃗⃗ ||𝑠𝑞

⃗⃗ |

13. Odchylka přímky od roviny:

sin 𝜑 =

|𝑠𝑝

⃗⃗ ×𝑛𝑞

⃗⃗⃗ |

|𝑠𝑝

⃗⃗ ||𝑛𝑞

⃗⃗⃗ |

Vyjádření přímky:

1. Parametrické vyjádření přímky

𝑋 = 𝐴 + 𝑡 × 𝑢

⃗ 𝑡 ∈ 𝑅