17 – Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin

Pracovní postup – určení směrnicového tvaru přímky:

1. Z daných bodů vyjádříme směrnicový vektor (

𝐴[2; 8], 𝐵[8; 10] => 𝑠 𝐴𝐵(6,2))

2. Nalezneme normálový vektor (

𝑠 𝐴𝐵(6,2) => 𝑛⃗ 𝐴𝐵(−2,6))

3. Z normálového vektoru určíme obecnou rovnici přímky v rovině
4. Popřípadě rovnici upravíme
5. V obecné rovnici osamostatníme

𝑦 a dosažením do vzorců získáme 𝑘 a 𝑞

Vzájemná poloha tří rovin:

1. Všechny tři roviny jsou rovnoběžné a různé, nemají žádný společný bod
2. Dvě roviny jsou rovnoběžné a třetí je protíná; průnikem jsou 2 rovnoběžné přímky
3. Roviny jsou různoběžné a všechny se protínají v jedné přímce
4. Všechny roviny jsou různoběžné; každá rovina protíná dvě zbývající, průnikem jsou

tři rovnoběžné přímky

5. Všechny tři roviny jsou různoběžné a mají společný jeden bod

Příklad 1:

Zadání: Je dána polopřímka 𝐴𝐵

⃗⃗⃗ s body 𝐴[−2; −1] a 𝐵[1; 3]. Zjistěte, zda se bod

𝐶[2𝑝 − 𝑥; 𝑝 − 3] nachází na polopřímce.

Řešení:

𝐴𝐵

⃗⃗⃗ = (1 − (−2); 3 − (−1)) = (3; 4)

𝑥 = −2 + 3𝑡
𝑦 = −1 + 4𝑡
2𝑝 − 1 = −2 + 3𝑡
𝑝 − 3 = −1 + 4𝑡
−1 + 6 = −2 + 2 + 3𝑡 − 8𝑡
5 = 3𝑡 − 8𝑡
𝑡 = −1
𝑝 = −2

Jelikož −2 ∉ 𝑅

0

+, bod C neleží na polopřímce AB.

Příklad 2:

Zadání: Jsou dány body 𝐴[1; −1; 3], 𝐵[1; 2; −3], 𝐶[2; −3; 4]. Napište rovnici roviny
v parametrickém i obecném tvaru.

Řešení:

Nejdříve určíme 2 různoběžné rovnice, které se nachází v rovině (NESMÍ být mimoběžné ani
rovnoběžné). U nich uděláme vektorový součin, výsledný vektor upravíme, určíme z něj
obecnou rovnici roviny a dosazením jednoho z bodů zjistíme celý tvar rovnice.

Parametrickou rovnici roviny zjistíme tak, že do prvního sloupce rovnice dosadíme počáteční
bod (v našem případě bod A), do druhého a třetího dosadíme hodnoty 2 vektorů rovnice.

𝑢 = 𝐴𝐵

⃗⃗⃗ = (0; 3; −6)

𝑣 = 𝐴𝐶

⃗⃗⃗ = (1; −2; 1)

𝑤 = (3 − 12; −6 − 0; 0 − 3)

𝑤 = (−9; −6; −3)

𝑤′ = (3; 2; 1)

3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 𝑑 = 0

3 + 4 − 3 + 𝑑 = 0

𝑑 = −4

3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 4 = 0

𝑥 = 1 + 0𝑠 + 𝑟
𝑦 = −1 + 3𝑥 − 2𝑟
𝑧 = 3 − 6𝑥 + 𝑟

𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅