17 – Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin

𝑥 = 𝑎1 + 𝑡𝑢1
𝑦 = 𝑎2 + 𝑡𝑢2

• 𝑎

1 a 𝑎2 jsou souřadnice počátečního bodu, 𝑢1 a 𝑢2 jsou souřadnice vektoru

• U parametrické rovnice přímky v prostoru přidáme třetí rozměr

2. Obecná rovnice přímky

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

• Alespoň jedno z čísel 𝑎 nebo 𝑏 je nenulové
• Obecnou rovnici získáme dosazením normálového vektoru za 𝑎 a 𝑏
• Proměnou 𝑐 získáme tak, že za 𝑥 a 𝑦 dosadíme souřadnice bodu vektoru
• Normálový vektor je vektor kolmý ke směrovému vektoru
• Obecná rovnice přímky v prostoru NEEXISTUJE

3. Směrnicový tvar rovnice přímky

𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞

𝑘 = −

𝑎
𝑏

= tan 𝜑 =

𝑢2
𝑢1

𝑢

⃗ = (𝑢1; 𝑢2)

• Vychází z velikosti úhlu, který svírá přímka s osou 𝑥
• Lze ji určit jen tehdy, pokud se 𝑏 ≠ 0
• Určí se z obecné rovnice přímky tak, že osamostatníme 𝑦
• 𝑘 je směrnice přímky
• 𝜑 je směrový úhel přímky; úhel, který svírá přímka s osou 𝑥 (0 < 𝜑 < 180°)
• 𝑞 je úsek, který přímka 𝑝 vytíná na ose 𝑦, pro 𝑞 platí: 𝑞 = −

𝑐

𝑏

• Neznámé 𝑥 a 𝑦 jsou libovolné body, které se nachází na přímce

Parametrická rovnice přímky, polopřímky a úsečky:

𝑝: 𝑋 = 𝐴 + 𝑡 × 𝑢

⃗

• Pokud je parametr 𝑡 reálné číslo, jedná se o přímku

𝐴𝐵

⃗⃗⃗ ∶ 𝑋 = 𝐴 + 𝑡 × 𝑢⃗

• Pokud je parametr 𝑡 reálné kladné číslo jiné od nuly, jedná se o polopřímku

𝐴𝐵

⃡⃗⃗ : 𝑋 = 𝐴 + 𝑡 × 𝑢⃗

• Pokud parametr 𝑡 číslo z uzavřeného intervalu 〈0; 1〉, jedná se o úsečku

Vzájemná poloha přímek:

• Vzájemnou polohu dvou přímek určujeme pomocí soustavy dvou lineárních rovnic o

dvou neznámých

• Soustava dvou rovnic v rovině může mít 3 řešení:

1. Žádné řešení – přímky jsou rovnoběžné a různé
2. Jedno řešení – přímky jsou různoběžné
3. Nekonečně mnoho řešení – přímky splývají

• Počítáme-li polohu dvou přímek v prostoru, můžou být také mimoběžné
• Mimoběžné přímky nemají žádný společný bod a jsou různoběžné
• Pří počítání poloh dvou přímek v prostoru, počítáme soustavu 2 parametrických rovnic
• Při počítání poloh dvou přímek v rovině, existují tři možné soustavy rovnic:

1. Obě zadané parametricky
2. Jedna zadaná parametricky, druhá zadaná obecně
3. Obě zadané obecně

Polorovina:

• Polorovina je část roviny, která vznikne rozdělením roviny přímkou
• Tato přímka funguje jako nulová hranice
• Průnik dvou polorovin, jejichž hraniční přímky jsou rovnoběžné, se označuje jako pás

Pracovní postup – polorovina:

1. Určíme si obecnou rovnici přímky poloroviny
2. Za proměnné

𝑥 a 𝑦 dosadíme souřadnice bodu, který hledáme

3. Z rovnice uděláme nerovnici
4. Pokud je výsledek menší než 0, bod se nachází v polorovině
5. Pokud je výsledek větší než 0, bod se nachází v opačné polorovině
6. Pokud je výsledek roven 0, bod leží na přímce