9 – Funkce a jejich vlastnosti

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Funkce a jejich vlastnosti

Základní pojmy:

• Funkce je zobrazení z množiny 𝑀 do množiny čísel. Je to předpis, který každému

prvku z množiny

𝑀 jednoznačně přiřadí nějaké číslo nebo vektor

• Zobrazení je předpis, kterým se prvkům určité množiny 𝑋 přiřazuje nejvýše jeden

prvek množiny 𝑌 (zobrazení z množiny 𝑋 do množiny 𝑌).

• Definiční obor funkce je podmnožiny 𝐷 všech prvků množiny 𝑀, ke kterým taková

uspořádaná dvojice existuje právě jedna.

• Obor hodnot funkce je množina všech prvků y množiny 𝑇, ke kterým v relaci existuje

alespoň jedna uspořádaná dvojice [𝑥; 𝑦] ∈ 𝑓, kde 𝑥 ∈ 𝐷 (𝑇 a 𝐷 jsou 2 množiny, u
nichž v rámci funkce přiřazuje prvek z jedné množiny k prvku z množiny druhé).

• Funkci lze také chápat jako zobrazení z podmnožiny reálných čísel do množiny

reálných čísel či vektorů

Způsoby zápisu funkce:

• Analyticky (𝑦 = 𝑓(𝑥))

1. Explicitní zápis funkce (

𝑦 = 2𝑥2)

2. Implicitní zápis funkce (

𝑦 − 2𝑥2 = 0)

3. Parametrický tvar – soustava rovnic (

𝑥 =

𝑡

√2

, 𝑦 = 𝑡2)

• Tabulkou
• Grafem

Druhy funkcí a jejich grafy:

• Lineární – grafem je přímka různoběžná s osami souřadnic (𝑦 = 3𝑥 − 5)
• KVAdratická – grafem je parabola (𝑦 = 5𝑥2 + 3𝑥 − 6)
• Mocninná – grafem je křivka hyperboly (𝑦 = 2𝑥5)
• Lineární lomená – grafem je hyperbola, u níž jsou osy soustavy asymptotami (𝑦 =

1

𝑥

)

• Exponenciální – grafem je exponenciála (𝑦 = 2𝑥)
• Logaritmická – grafem je logaritmická křivka (𝑦 = log

3 𝑥)

Y

1

2

4

6

9

10

X

-1

0

2

4

7

8

Vlastnosti funkce:

• Monotónnost funkce

𝑓(𝑟𝑜𝑠𝑡𝑜𝑢𝑐í) <=> ∀𝑥1; 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓; 𝑥1 < 𝑥2 => 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)

• Rostoucí: funkce je rostoucí právě tehdy, když s rostoucí hodnotou 𝑥 roste i

hodnota

𝑦 (je-li 𝑥1 < 𝑥2, pak 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2), např. funkce 𝑦 = tan 𝑥).

𝑔(𝑘𝑙𝑒𝑠𝑎𝑗í𝑐í) <=> ∀𝑥1; 𝑥2 ∈ 𝐷𝑔; 𝑥1 > 𝑥2 => 𝑔(𝑥1) > 𝑔(𝑥2)

• Klesající: funkce je klesající právě tehdy, když s klesající hodnotou 𝑥 roste i

hodnota

𝑦 (je-li 𝑥1 > 𝑥2, pak 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2), např. funkce 𝑦 = cot 𝑥).

• Parita funkce

• Sudá funkce je taková, která je osově souměrná podle osy 𝑦 (𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥))
• Lichá funkce je středově souměrná podle počátku soustavy souřadnic

• Omezenost funkce

• Funkce nabývá svého maxima v bodě 𝑎 právě tehdy, když neexistuje žádný

jiný bod 𝑥 ∈ 𝐷𝑓, který by měl větší funkční hodnotu než bod 𝑎.

• Funkce nabývá svého minima v bodě 𝑏 právě tehdy, když neexistuje žádný

jiný bod 𝑥 ∈ 𝐷𝑓, který by měl nižší funkční hodnotu než bod 𝑏.