9 – Funkce a jejich vlastnosti

• Prostá funkce

• Funkce je prostá právě tehdy, nabývá-li pro každé dva různé argumenty různé

funkční hodnoty (𝑥1 ≠ 𝑥2 => 𝑓(𝑥

1) ≠ 𝑓(𝑥2)).

• Periodická funkce

∃ 𝑇 ∈ 𝑅, 𝑇 > 0; ∀𝑥 ∈ 𝐷: 𝑓(𝑥+𝑇) = 𝑓(𝑥)

• Funkce je periodická právě tehdy, je-li celý graf funkce dán jednou

opakovanou částí funkce

• Opakující se část funkce se označuje 𝑇, tuto nejmenší opakovanou část

funkce nazýváme základní perioda

• Maximum a minimum funkce

• Funkce 𝑓 má maximum v bodě 𝑎 právě tehdy, když pro každé 𝑥 z definičního

oboru platí, že 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑎)

• Funkce 𝑔 má minimum v bodě 𝑏 právě tehdy, kdy pro každé 𝑥 z definičního

oboru platí, že 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑏)

• Pokud má funkce 𝑓 v bodě 𝑥 extrém (minimum nebo maximum), a pokud

v tomto bodě existuje derivace, pak je tato derivace nulová

• Maximum a minimum funkcí se souhrnně nazývají extrémy
• Lokální extrém je druhá nejvyšší/nejnižší hodnota extrému funkce
• Lokálních extrémů může být i více než jeden a mohou to být jediné extrémy
• Globální extrém je jediná nejvyšší/nejnižší hodnota extrému, ta se neopakuje

Inverzní funkce:

𝑓(𝑥) = 𝑦 <=> 𝑓

−1(𝑦) = 𝑥

• Inverzní funkce je funkce, u níž přiřazujeme prvky „opačně“ než ve funkci původní
• Pokud funkci 𝑓 zavoláme s argumentem 𝑥 a získáme hodnotu 𝑦, pak musí jít inverzní

funkce zavolat s argumentem

𝑦 a získáme hodnotu 𝑥

• V grafickém řešení se inverzní funkce načrtne pomocí osové souměrnosti podle 𝑥 = 𝑦
• Pokud není funkce 𝑓 prostá, funkce k ní inverzní je zobrazení, nikoliv funkce

𝑓: 𝑦 = 3𝑥 − 2

𝑓−1: 𝑦 =

𝑥 + 2

3

Společný bod: [1, 1]

Lineární funkce s dvěma a více absolutními hodnotami – postup řešení:

• Určíme si nulové body absolutních hodnot
• Nulové body absolutních hodnot rozdělí množinu na tří nebo více intervalů

• V každé intervalu určíme, zda absolutní hodnotu nahradit výrazem shodným nebo

opačným

• V každém intervalu upravíme funkční rovnici
• Do jedné soustavy souřadnic načrtneme grafy všech jednotlivých funkcí
• Výsledkem bude lomená čára tvořená polopřímkami a úsečkami

Příklad – lineární rovnice s dvěma absolutními hodnotami:

Zadání: Sestrojte graf funkce: 𝑦 = 0,5|𝑥 − 1| + |𝑥 + 2| − 𝑥

Řešení: