Výroky a nejdůležitější operace s nimi

2.

Výroky a nejdůležitější operace s nimi

Pojmy: výrok, hypotéza, základní operace, výroková formule, tautologie, tabulka, výrokové formy, negace výroků

Výrok – jazykové sdělení, o nichž máme po obsahové stránce právo tvrdit, že jsou buď pravdivé nebo nepravdivé

Výrazem není: výrazy které obsahují proměnnou (2x+1< 7 ; 2+3x)

Otázky

Hypotéza, domněnka – výrok, o kterém v danném okamžiku nemůžeme říct jestli je pravdivý nebo ne (v roce 2030 spadne meteorit)

Základní operace: ¬ negace (non); není pravda že...

∧ konjunkce (et); a

∨ disjunkce (vel); nebo

⇒ implikace; jestliže A potom B

⇔ ekvivalence; právě tehdy když...

Pomocí logických spojek (základních operací) skládáme logické výroky

Výroková formule – složitější výrokové formule vznikají kombinací více logických operací (případně s více výroky). Operace u nich mají nadřazenost v tomto pořadí: ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔, pokud se přednost nemění závorkou.

Tautologie – výrok, který je vždy 1

Tabulka pravdivostních hodnot

A∧B A∨B A⇒B A⇔B 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 A B A∧B A∨B A⇒B A⇔B 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1

Výrokové formy (Predikátové formule) – výroková forma o jedné proměnné: V(x)

více proměnných: V(x1, x2...) nebo V(x, y)

po dosazení z nich vzniká výrok

- rovnice x, y∈R; x>y

- číslo x je dělitelné 5...

Logické operace s výrokovými formami - výsledkem jsou složené výrokové formy

Výroková forma – je sdělení s proměnnými a podle jejích pravdivostních hodnot může být buď pravdivým nebo nepravdivým výrokem

x+y=11; x=4, y=7 (1)

x=20, y=11 (0)

Výroková forma se stane výrokem: 1) dosazením konstant za proměnné

2) kvantifikací: ∀ - pro každé, pro všechna (obecný kvantifikátor)

∃ - existuje aspoň jedno (existenční kvantifikátor)

∃! – existuje právě jedno (kvantifikátor jednoznačné existence)

∀ x∈R; x+1> x .....1

∃ x∈R; x+1> x .....1

∃! x∈R; x+1> x .....0

Záleží na pořadí kvantifikátoru. Podle toho jaký je první, pak je ten výrok pojmenován podle něho.

Negování výroků – není pravda, že

A ∧ B (Přijde Daní a Zebi) A‘∨ B‘ (Daní nepřijde nebo Zebi nepřijde)

A ∨ B (Přijde Daní nebo Zebi) A‘ ∧ B‘ (Nepřijde Daní a nepřijde Zebi)

A ⇒ B (Jestliže přijde Daní, přijde Zebi) A ∧ B‘ (Daní přijde a Zebi nepřijde)

A ⇔ B (Daní přijde právě tehdy, když (A ∧ B‘) ∨ (A‘ ∧ B) (Daní přijde a Zebi nepřijde, prijde Zebi) nebo Daní nepřijde a Zebi přijde.

(-2)0 – není pravda že –2 je záporné číslo

- je nezáporné číslo (ne kladné – tam nepatří 0!)

V negovaném kvantifikovaném výroku zaměníme kvantifikátor ∀ kvantifikátorem ∃ a naopak.

Každý ..... je ..... Existuje alespoň jeden ....., který není .....

Alespoň jeden ..... je ..... Pro každý ..... platí, že není .....