9 – Funkce a jejich vlastnosti #2

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Funkce a jejich vlastnosti #2

Funkce složená:

• Skládání funkcí je operace, kdy funkční hodnoty jedné funkce dosadíme jako

argument jiné funkce, čímž vznikne nová funkce (složená)

• Říkáme, že funkce h je složená z funkcí f a g, právě tehdy, když

𝐷ℎ = {𝑥 ∈ 𝐷𝑓; 𝑓(𝑥) ∈ 𝐷𝑔} a pro každé 𝑥 ∈ 𝐷ℎ je ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)).

• Složenou funkci h označujeme jako ℎ = 𝑓 ∘ 𝑔, čteme jako „f po g.“
• Skládání funkcí není komutativní čili platí, že: 𝑓 ∘ 𝑔 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓
• U funkce ℎ = 𝑓 ∘ 𝑔 se f nazývá vnější složka a g je vnitřní složka
• Definičním oborem funkce h jsou prvky definičního oboru funkce 𝑓(𝑥), jejichž

funkční hodnoty se trefí do definičního oboru funkce 𝑔(𝑥).

• Definiční obor funkce h lze vypočítat nebo zjistit z předpisů funkcí a def. oborů

Příklad – funkce složená:

Zadání: Najděte funkce ℎ1 = 𝑓 ∘ 𝑔 a ℎ2 = 𝑔 ∘ 𝑓, pokud víte, že: 𝑓: 𝑦 = 𝑥 − 1 𝑔: 𝑦 = √𝑥 + 1

Řešení:

𝐷𝑓 ∈ 𝑅 𝐷𝑔 ∈ ⟨−1; ∞)

ℎ1 = 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(√𝑥 + 1) = √𝑥 + 1 − 1 𝐷ℎ

1 ∈ ⟨−1; ∞)

ℎ2 = 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥 − 1) = √(𝑥 − 1) + 1 = √𝑥 𝐷ℎ

2 ∈ 𝑅0

+

Spojitost funkce v bodě:

• Pro přesnější pochopení spojitosti funkcí je nutné si zavést několik pojmů
• Okolím bodu a se nazývá otevřený interval (𝑎 − 𝛿; 𝑎 + 𝛿), kde 𝛿 (delta) je kladné

reálné číslo. Číslo a se nazývá střed okolí a číslo 𝛿 poloměr okolí.

• Okolí bodu značíme jako 𝑈(𝑎) nebo 𝑈(𝑎, 𝛿), platí 𝑈(𝑎) = (𝑎 − 𝛿; 𝑎 + 𝛿)

|𝑥 − 𝑎| < 𝛿 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿

• Levé okolí bodu a nazýváme polouzavřený interval (𝑎 − 𝛿; 𝑎⟩, kde 𝛿 = 𝑅+
• Pravé okolí bodu a se nazývá polouzavřený interval ⟨𝑎; 𝑎 + 𝛿), kde 𝛿 = 𝑅+
• Někdy se setkáme i s množinou U(𝑎; 𝛿) \{𝑎} neboli (𝑎 − 𝛿; 𝑎) ∪ (𝑎; 𝑎 + 𝛿)
• Tato množina reprezentuje okolí bodu a bez bodu a
• Je-li dána funkce 𝑦 = 𝑓(𝑥), pak je x argument funkce
• Nechť funkce f je definována v nějakém okolí bodu a a nechť je 𝑥 ∈ 𝑈(𝑎). Rozdíl x-a

nazýváme přírůstek argumentu v bodě a (∆𝑥 = 𝑥 − 𝑎)

• Pro 𝑥 > 𝑎 je přírůstek kladný, pro 𝑥 < 𝑎 je přírůstek záporný
• Nechť funkce f je definována v nějakém okolí bodu a a nechť je 𝑥 ∈ 𝑈(𝑎). Rozdíl

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) se nazývá přírůstek funkce v bodě a odpovídající přírůstku ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑎
argumentu

(∆𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎))

• Platí, že ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑎 je 𝑥 = 𝑎 + ∆𝑥, tudíž platí i ∆𝑦 = 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎)