9 – Funkce a jejich vlastnosti #2

• Funkce 𝑓 je spojitá v bodě a, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu 𝑓(𝑎) existuje

takové okolí bodu a, že pro všechna x z tohoto okolí bodu a patří hodnoty 𝑓(𝑥) do
zvoleného okolí bodu 𝑓(𝑎)

𝑎 <=> ∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝑅: (|𝑥 − 𝑎| < 𝛿 => |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜀)

• Jednodušeji lze říci, že funkce je spojitá, pokud lze její graf načrtnout jedním tahem

• Jsou-li funkce 𝑓, 𝑔 spojité v bodě a, pak je také spojitou funkcí v bodě a jejich součet

𝑓 + 𝑔, rozdíl 𝑓 − 𝑔, součin 𝑓 × 𝑔 a pro 𝑔 ≠ 0 i jejich podíl

𝑓

𝑔

Příklad – přírůstek argumentu a přírůstek funkce:

Zadání: Vyjádřete přírůstek funkce 𝑦 = 𝑥2

Řešení:

∆𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) = 𝑥2 − 𝑎2

∆𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎) = (𝑎 + ∆𝑥)2 − (𝑎)2 = 2𝑎∆𝑥 − (∆𝑥)2

Spojitost funkce v intervalu:

• Opět je nutné si zavést nové pojmy k pochopení spojitosti funkce v intervalu
• Funkce 𝑓 je v bodě a spojitá zprava, jestliže ke každému 𝜀 > 0 existuje takové 𝛿 > 0,

že nerovnost |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜀 je splněna pro všechna reálná x z intervalu ⟨𝑎; 𝑎 + 𝛿)

• Funkce ℎ je v bodě a spojitá zleva, jestliže ke každému 𝜀 > 0 existuje takové 𝛿 > 0,

že nerovnost |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜀 je splněna pro všechna reálná x z intervalu (𝑎 − 𝛿; 𝑎⟩

• Funkce 𝑔 je spojitá v bodě a, právě když je v tomto bodě spojitá zprava i zleva
• Funkce 𝑓 je spojitá v otevřeném intervalu (𝑎, 𝑏), je-li spojitá v každém bodě intervalu
• Funkce ℎ je spojitá v uzavřeném intervalu 〈𝑎, 𝑏〉, je-li spojitá v (𝑎, 𝑏) a bodě a je

spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva

• Funkce 𝑦 = √𝑥

𝑛

, 𝑛 ∈ 𝑁 je pro každé liché n spojitá v R a pro každé sudé n je spojitá

v intervalu

⟨0; +∞), logaritmické/exponenciální funkce jsou spojité v každém bodě D

• Zjednodušeně lze říci, že funkce spojitá v intervalu má stejné vlastnosti jako funkce

spojitá v bodě, avšak tyto vlastnosti se vztahují na všechny body intervalu

Věta Weierstrassova:

• Je-li funkce 𝑓 spojitá v uzavřeném intervalu 〈𝑎, 𝑏〉, existuje alespoň jeden taková bod

𝑥1 ∈ 〈𝑎, 𝑏〉, že pro všechna 𝑥 ∈ 〈𝑎, 𝑏〉 platí 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥1), a alespoň jeden takový bod
𝑥2 ∈ 〈𝑎, 𝑏〉, že pro všechna 𝑥 ∈ 〈𝑎, 𝑏〉 platí 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥2).

• Zjednodušeně lze říci, že funkce spojitá v uzavřeném intervalu od a do b nabývá

v tomto intervalu alespoň v jednom bodě maxima a alespoň v jednom bodě minima

• Geometrickou interpretací jsou body, v němž se dotýká graf funkce s přímkami

rovnoběžnými na osu x, tyto přímky tvoří rovinný pás, v němž se graf funkce nachází