9 – Funkce a jejich vlastnosti #2
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿
• Funkce může mít i v nevlastním bodě ±∞ nevlastní limitu ±∞
• Příkladem budiž lineární funkce, kde při x blížícímu se k +∞ bude i limita rovna +∞
• Máme-li limitu funkce 𝑦 = 𝑥2, limita blížící se k −∞ bude +∞
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = −∞ lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = +∞ lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = +∞ lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = −∞
Asymptoty grafu funkce:
• Asymptoty lze sestrojit nejen hyperbolám, ale celé řadě elementárních funkcí
• Ty s grafem funkce úzce souvisí a umožňují nám sestrojit graf funkce
• Hlavní rozdíl mezi limitou funkce a asymptotou grafu funkce je ten, že limita je číselná
hodnota, kdežto asymptota je fyzická reprezentace vlastnosti grafu funkce
• Asymptoty grafu funkce se dělí na asymptoty se směrnicí a asymptoty bez směrnice
• Přímku 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 nazveme asymptotou se směrnicí grafu funkce f, jestliže platí:
lim
𝑥→+∞
[𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏)] = 0 ∨ lim
𝑥→−∞
[𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏)] = 0
• Zároveň pro asymptotu se směrnicí platí:
𝑎 = lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
, 𝑏 = lim
𝑥→±∞
[𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥]
• Asymptota se směrnicí MŮŽE protnout graf funkce, asymptota bez směrnice nikoliv
• Asymptotou bez směrnice jsou přímky rovnoběžné s osou y
• Nechť je funkce definována v U(𝑎, 𝛿) \{𝑎} nebo v pravém či levém okolí bodu mimo
daný bod. Přímka o rovnici 𝑦 = 𝑎 se nazývá asymptota bez směrnice grafu funkce f,
právě když má funkce f v bodě a aspoň jednu jednostrannou nevlastní limitu.
Příklad – asymptota grafu funkce:
Zadání: Je dán graf funkce 𝑦 =
𝑥
1+𝑥2
. Dokažte, že přímka o rovnici 𝑦 = 0 je asymptotou se
směrnicí grafu této funkce
Řešení:
𝑎 = lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥
1 + 𝑥2
𝑥
= lim
𝑥→+∞
1
1 + 𝑥2
= 0
𝑏 = lim
𝑥→+∞
[𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥] = lim
𝑥→+∞
𝑥
1 + 𝑥2
− 0 × 𝑥 = 0
Asymptota tohoto grafu bude dána rovnicí 𝑦 = 0𝑥 + 0 => 𝑦 = 0
Tečna grafu funkce:
• Stejně jako kružnici můžeme sestrojit tečnu i k jiným křivkám, například právě grafům
• Je-li křivka grafem funkce 𝑦 = 𝑓(𝑥) a existuje-li vlastní limita
𝑘𝑇 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
pak tečna křivky v bodě
𝑇[𝑥0, 𝑦0] je přímka o rovnici: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑘𝑇(𝑥 − 𝑥0)
• Označíme-li si ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥
0, pak směrnici tečny 𝑘
𝑇 lze také zapsat ve tvaru:
𝑘𝑇 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
=
lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
Vzorce:
1.
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) + lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐴 + 𝐵
2.
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎