9 – Funkce a jejich vlastnosti #2
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
dvou funkcí
• Jinými slovy, upravíme výraz (vytýkání, rozklad na součin, operace se zlomky,…)
• Větu o limitě dvou funkcí využijeme tehdy, kdy a není definováno v definičním oboru
• Pokud i tak vyjde jmenovatel rovný nule, taková limita funkce NEEXISTUJE
• Zároveň platí, že pokud se funkce blíží k hodnotě ze dvou opačných stran, například u
funkce
𝑦 =
1
𝑥
, kde se y blíží k 0 v
±∞, limita takovéto funkce NEEXISTUJE
• Nachází-li se v limitě goniometrické funkce, pracujeme s tím, že lim
𝑥→0
sin 𝑥
𝑥
= 1
Příklad – Limita funkce:
Zadání:
𝑎) lim
𝑥→2
3𝑥 + 4
𝑥2 + 1
𝑏) lim
𝑥→
𝜋
6
sin 𝑥 𝑐) lim
𝑥→0
3𝑥2 − 𝑥
𝑥
𝑑) lim
𝑥→−1
𝑥2 + 4𝑥 + 3
𝑥3 + 1
𝑒) lim
𝑥→1
(
1
1 − 𝑥
−
3
1 − 𝑥2
)
Řešení:
𝑎) lim
𝑥→2
3𝑥 + 4
𝑥2 + 1
=
3 × 2 + 4
22 + 1
=
6 + 4
4 + 1
=
10
5
= 2
𝑏) lim
𝑥→
𝜋
6
sin 𝑥 = sin
𝜋
6
=
1
2
𝑐) lim
𝑥→0
3𝑥2 − 𝑥
𝑥
=
𝑥 × (3𝑥 − 1)
𝑥
= 3𝑥 − 1 = 3 × 0 − 1 = −1
𝑑) lim
𝑥→−1
𝑥2 + 4𝑥 + 3
𝑥3 + 1
=
(𝑥 + 1)(𝑥 + 3)
(𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1)
=
𝑥 + 3
𝑥2 − 𝑥 + 1
=
−1 + 3
1 + 1 + 1
=
2
3
𝑒) lim
𝑥→1
(
1
1 − 𝑥
−
3
1 − 𝑥3
) = (
1
1 − 𝑥
−
3
(1 − 𝑥)(1 + 𝑥 + 𝑥2)
) = (
1 + 𝑥 + 𝑥2 − 3
(1 − 𝑥)(1 + 𝑥 + 𝑥2)
)
=
𝑥2 + 𝑥 − 2
(1 − 𝑥)(1 + 𝑥 + 𝑥2)
=
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
(1 − 𝑥)(1 + 𝑥 + 𝑥2)
= −
𝑥 + 2
1 + 𝑥 + 𝑥2
= −
3
3
= −1
Věta o třech limitách:
• Jestliže pro všechna 𝑥 ≠ 𝑎 z jistého okolí bodu a platí 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) a
současně lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐿, potom existuje také limita funkce g v bodě a
a platí lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿.
Geometrická interpretace důkazu rovnosti 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝒙
= 𝟏:
Vezmeme si
lim
𝑥→0
sin 𝑥
𝑥
= 1. To, že tato rovnost platí, svědčí o tom, že v okolí (−𝛿, 𝛿) \ {0}
nabývají funkce 𝑦 = sin 𝑥 a 𝑦 = 𝑥 „skoro stejné“ hodnoty. Tímto výrokem myslíme, že
velikost rozdílu |sin 𝑥 − 𝑥| je pro x blízko nuly „zanedbatelná“ vzhledem k x. Důležitější než
znalost důkazu bude když si uvědomíme geometrickou interpretaci této limity.
Z grafů je vidět, že v blízkosti bodu 0 grafy obou funkcí téměř splývají. Můžeme tedy tvrdit,
že pro velmi malé hodnoty x lze psát sin 𝑥 =̇ 𝑥, a proto také lim
𝑥→0
sin 𝑥
𝑥
= 1.
To, že se lim
𝑥→0
sin 𝑥
𝑥
= 1 zde analyticky dokazovat nebudeme. Důkaz je příliš složitý a provádí
se pomocí věty o třech limitách. Pro vysvětlení postačí, že při dosazení hodnot blížících se
k nule za x se hodnota limity bude blížit k jedné.
Jednostranné limity funkce v bodě:
• Stejně jako u spojitosti funkce rozlišujeme u limit, zda se k bodu blížíme zprava/zleva
• Některé funkce, například 𝑦 = 𝑠𝑔𝑛(𝑥), nabývají různých funkčních hodnot, pokud se