9 – Funkce a jejich vlastnosti #2

k bodu blížíme zprava (

𝑓(𝑥) = 1) či zleva (𝑓(𝑥) = −1)

• Funkce f má v bodě 𝑎 limitu L zleva, jestliže ke každému 𝜀-okolí bodu L existuje levé

𝛿-okolí bodu a tak, že pro všechna reálná 𝑥 ≠ 𝑎 z levého 𝛿-okolí bodu a patří funkční
hodnoty

𝑓(𝑥) do 𝜀-okolí bodu L

lim

𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿

• Funkce f má v bodě 𝑎 limitu L zprava, jestliže ke každému 𝜀-okolí bodu L existuje

pravé 𝛿-okolí bodu a tak, že pro všechna reálná 𝑥 ≠ 𝑎 z pravého 𝛿-okolí bodu a patří
funkční hodnoty 𝑓(𝑥) do 𝜀-okolí bodu L

lim

𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿

• Limita funkce f v bodě a existuje, právě když existují v bodě a limity zprava a zleva

lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 <=> lim

𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 = lim

𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿

Nevlastní limita funkce v bodě:

• Pokud je limitou funkce reálné číslo L, říkáme, že funkce má vlastní limitu
• Pokud je limitou funkce ±∞, má funkce nevlastní limitu
• Funkce f má v bodě a nevlastní limitu +∞, jestliže ke každému číslu K existuje takové

𝛿 > 0, že pro všechna reálná 𝑥 ≠ 𝑎 z okolí (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) bodu a je 𝑓(𝑥) > 𝐾

lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = +∞

• Příkladem funkce, která má nevlastní limitu v +∞, je například funkce 𝑦 =

1

𝑥2

• Funkce f má v bodě a nevlastní limitu −∞, +∞, jestliže ke každému číslu K existuje

takové 𝛿 > 0, že pro všechna reálná 𝑥 ≠ 𝑎 z okolí (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) bodu a je 𝑓(𝑥) < 𝐾

lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = −∞

• Příkladem funkce, která má nevlastní limitu v −∞, je například funkce 𝑦 = ln|𝑥|
• Obdobně lze definovat i nevlastní limitu funkce zleva a zprava
• Funkce 𝑦 = −

1

𝑥

má zleva nevlastní limitu

+∞ a zprava nevlastní limitu −∞, pokud se

x blíží k nule

Limita funkce v nevlastním bodě:

• Pokud se limita funkce blíží k ±∞, říkáme, že má limitu v nevlastním bodě
• Funkce 𝑦 =

1

𝑥

je v kladných číslech klesající a s rostoucí hodnotu x klesá hodnota

𝑓(𝑥)

• Říkáme proto, že lim

𝑥→+∞

1

𝑥

= 0

• Funkce f má v nevlastním bodě +∞ limitu L, jestliže ke každému 𝜀 > 0 existuje reální

číslo 𝑥0 tak, že pro všechna reálná 𝑥 > 𝑥0 patří funkční hodnoty 𝑓(𝑥) do okolí
(𝐿 − 𝜀, 𝐿 + 𝜀).

lim

𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

• Obdobně lze definovat i limitu funkce pro x blížící se k −∞
• Funkce 𝑦 = 2𝑥 − 1 se v nevlastním bodě −∞ bude blížit k hodnotě −1
• Říkáme proto, že lim

𝑥→−∞

(2𝑥 − 1) = −1

• Funkce f má v nevlastním bodě −∞ limitu L, jestliže ke každému 𝜀 > 0 existuje reální

číslo 𝑥0 tak, že pro všechna reálná 𝑥 < 𝑥0 patří funkční hodnoty 𝑓(𝑥) do okolí
(𝐿 − 𝜀, 𝐿 + 𝜀).