9 – Funkce a jejich vlastnosti #2

Věta Darbouxova:

• Jeli dána funkce 𝑓 spojitá v intervalu 〈𝑎, 𝑏〉 a mají-li čísla 𝑓(𝑎) a 𝑓(𝑏) různá

znaménka, tj. 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) < 0, potom existuje alespoň jeden takový bod 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏),
v němž platí

𝑓(𝑐) = 0

Příklad – funkce spojitá:

Zadání: Ukažte, že rovnice 𝑥3 + 3𝑥 − 1 = 0 má kořen
v intervalu 〈

0,1〉.

Řešení: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥 − 1 = 0

𝑓(0) = −1 𝑓(1) = 3
𝑓(0) × 𝑓(1) < 0

Pomocí Darbouxovy věty jsme dokázali, že rovnice má kořen
v intervalu (

0,1) bez nutnosti kreslení grafu funkce. Jelikož je

součin funkčních hodnot krajních bodů intervalu menší než
nula, byl dokázán princip Darbouxovy věty a rovnice má jeden
kořen v zadaném intervalu

Funkce signum:

• Matematická funkce reálné nebo komplexní proměnné
• V oboru reálných čísel přiřazuje argumentu čísla −1, 0, 1

podle toho, zda je číslo záporné, rovné nule nebo kladné

• Funkce je spojitá v celém D až na bod 0
• Definičním oborem je 𝑅 a oborem hodnot je {−1, 0, 1}
• Značí se jako 𝑠𝑔𝑛(𝑥) nebo 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑥)
• Pomocí funkce signum lze definovat absolutní hodnotu

jako

𝑥 = |𝑥|𝑠𝑔𝑛(𝑥) nebo |𝑥| = 𝑥 × 𝑠𝑔𝑛(𝑥)

Příklad – funkce signum:

Zadání: Načrtněte graf funkce 𝑦 = 𝑠𝑔𝑛(𝑥2 − 1)

Řešení:

Načrtneme graf funkce 𝑦 = 𝑥2 − 1. Na grafu si
vyznačíme body 1, 0 a – 1. Z toho lze odvodit:

𝑠𝑔𝑛(𝑥2 − 1) = {

1, |𝑥| > 1

0, |𝑥| = 1

−1, |𝑥| < 1

}

𝐷(𝑥) = 𝑅 𝐻(𝑥) = {−1, 0, 1}

Limita funkce:

• Limita je základní pojem v matematické analýze
• Jedná se o vlastnost funkce
• Limitu funkce značíme jako:

lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿

• Čteme jako: „limita funkce f pro x blížící se k a je rovna L“
• Limitu lze laicky definovat jako bod nebo hodnotu, ke které se funkce blíží, ale nikdy

nebude mít stejnou hodnotu (stejně jako u limity posloupnosti)

• Pomocí limity lze říci, že funkce je spojitá právě tehdy, když lim

𝑥→𝑥0

(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑥0)

• Funkce f má v bodě a nejvýše jednu limitu
• Od limity posloupnosti se limita funkce liší v tom, že je definována pro reálná čísla

Limita funkce v bodě:

• Funkce 𝑓 má v bodě a limitu L, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu L existuje

okolí bodu a tak, že pro všechna reálná 𝑥 ≠ 𝑎 z tohoto okolí náleží hodnoty 𝑓(𝑥)
zvolenému okolí L

Věta o limitě dvou funkcí:

• Jestliže pro všechna 𝑥 ≠ 𝑎 z jistého okolí bodu a platí 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) a současně

lim

𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐿, potom má v bodě a limitu i funkce f a platí lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = lim

𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐿

Pravidla počítání limity funkce:

• Limitu funkce vypočteme tak, že za x dosadíme a, k němuž se hodnota x blíží
• Při dosazování je nutné si pamatovat, že NULOU DĚLIT NELZE
• Pokud by se po dosazení hodnota jmenovatele rovnala nule, využijeme větu o limitě