Soustava rovnic a nerovnic

16.

Soustava rovnic a nerovnic

Rovnice s n neznámými x1, x2, ... xn (n∈N), platí že L (x1, x2, ... xn)=P (x1, x2, ... xn); jejíž levá strana a pravá strana jsou výrazy s proměnnými

Řešením soustavy rovnic o n neznámých se rozumí každá uspořádaná n-tice, která splňuje zárověň všechny rovnice soustavy (po dosazení každé rovnice dostaneme pravdivý výrok)

Rozdělení soustavy rovnic

• lineární

• algebraické rovnice vyšších řádů (kvadratické a výše)

• nealgebraické (sin, log)

Metody: 1. Sčítací 2x-y=1 2x-y=1

x+3y=11 -2x-6y=-22

6x-3y=3 -7y=-21

x+3y=11 y=3

7x=14 [2, 3]

x=2

2. Dosazovací 2x-y=1

x+3y=11 → x=11-3y

2(11-3y)-y=1

22-6y-y=1

-7y=-21

y=3

3. Srovnávací (Komparační) – z obou rovnic vyjádřit stejnou neznámou a porovnat

2x-y=1 → x= =11-3y

x+3y=11 → x=11-3y 1+y=22-6y x=11-3.3

7y=21 x=11-9

4. Gaussova eliminační metoda (GEM) y=3 x=2

převedení na trojúhelníkový tvar; neužívá se u dvou, ale min u tří soustav

3x-7y+4z=27

8x+6y+3z=15

x-y-5z=0

/.(-8) /.(-3) x-y-5z=0

3x-7y+4z=27

8x+6y+3z=15

x-y-5z=0

/:(-4) 0-4y+19z=27

0+14y+43z=15

x-y-5z=0

/.(-14) 0+y-

0+0.....

5. metoda determinantní

3x-7y+4z=27

8x+6y+3z=15

x-y-5z=0

3 -7 4

8 6 3 =(-90-21-32)-(24+280-9)=(-143)-(295)=-438

1 -1 -5

x – místo x dosadim výsledky

27 -7 4

15 6 3 =(-810-60)-(525-81)=-870-444=1314

0 -1 -5 =3

3 27 4

8 15 3 =(-225+81)-(60-1080)=-144+1020=876

1 0 -5 y=2

atd...

Grafické řešení soustav rovnic

různoběžky – jedno řešení

rovnoběžky – žádné řešení

totožné přímky – nekonečně mnoho řešení

Řešení soustav dvou lineárních rovnic o dvou neznámých s reálnými parametry

Soustava s kvadratickými rovnicemi

Př. x2+y2+x+y=36

x+2y=9 → x=9-2y (dosadit do 1.)

(9-2y)2+y2+(9-2y)+y=36

atd...

Nerovnice soustavy s více neznámými

Rovnice s n neznámými x1, x2, ... xn (n∈N), platí že L (x1, x2, ... xn)< (>, =) P (x1, x2, ... xn); jejíž levá strana a pravá strana jsou výrazy s proměnnými