16 – Shodná a podobná zobrazení

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Shodná a podobná zobrazení

Definice shodného zobrazení

:

• Prosté zobrazení f roviny ρ na sebe se nazývá shodné zobrazení, právě tehdy, když pro

každé dva body roviny A, B z roviny ρ a jejich zobrazení f(A)=A‘, f(B)=B‘ v rovině
platí |𝐴𝐵| = |𝐴′𝐵′|.

• Rovinnému zobrazení je přiřazen shodný rovinný útvar
• Každé přímé shodné zobrazení je složením 2 osových souměrností• V praxi se jedná o dva totožné geometrické útvary se stejnými vzdálenostmi• Shodné zobrazení je prosté, pro každé shodné zobrazení je inverzní zobrazení shodné• Samodružný bod je bod, který se zobrazí pomocí zobrazení sama sebe

Vlastnosti shodného zobrazení:

• Zobrazením úsečky AB je úsečka 𝐴′𝐵′ s ní shodná.
• Obrazem polopřímky AB je polopřímka 𝐴′𝐵′, obrazy opačných polopřímek jsou opět

opačné polopřímky.

• Obrazem přímky AB je přímka 𝐴′𝐵′.
• Obrazy rovnoběžných přímek jsou opět přímky rovnoběžné.
• Obrazem poloroviny 𝜌𝐴 je polorovina 𝜌′𝐴′, obrazem opačné poloroviny je polorovina

opačná.

• Obrazem úhlu 𝐴𝑉𝐵 je úhel 𝐴′𝑉′𝐵′ shodný s úhlem 𝐴𝑉𝐵. Pokud se při zobrazení

zachová orientace úhlů, pak je zobrazení přímé, pokud se nezachová a úhel se zobrazí
na úhel s opačnou orientací, pak je zobrazení nepřímé.

Shodná zobrazení:

• Přímá

▪ Rotace [𝑅 (𝑆; ±𝛼)]

∀𝑥 ≠ 𝑆: |𝑆𝑋′| = |𝑆𝑋| ∩ |∢ 𝑋𝑆𝑋′| = 𝛼

❖

Je dána orientovaným úhlem a středem (bodem otáčení)

❖

Otočení ve směru hodinových ručiček je záporné

❖

Otočení ve směru opačnému k hodinovým ručičkám je kladné

❖

Otočení o 180° je středová souměrnost

❖

Otočení o 360° je bráno jako identita

▪

Posunutí [𝑇 (𝐴𝐵

⃗⃗⃗ )]

𝑇

(𝐴𝐵

⃗⃗ ⃗ ): 𝑋 → 𝑋

′ ↔ 𝑋𝑋′

⃗⃗⃗⃗ || 𝐴𝐵

⃗⃗⃗ ∩ |𝑋𝑋′| = |𝐴𝐵|

❖

Také se nazývá translace

❖

Je dáno vektorem a je to složení rovnoběžných os

❖

Každý bod se zobrazí na bod posunutý o vektor posunutí

▪ Identita [𝐼]

❖

Také se jí říká totožnost a jedná se o složení shodných osových souměrností

❖

Prvku množin je přiřazen ten samý prvek stejné množiny

❖

Identická zobrazení se překrývají

▪

Středová souměrnost [𝑆(𝑆)]

∀𝑥 ≠ 𝑆: 𝑆(𝑠): 𝑥 → 𝑥

′ ↔ 𝑥′ ∈ 𝑆𝑋

⃖⃗⃗⃗ ∩ |𝑋′𝑆| = |𝑋𝑆|

❖

Typ geometrického zobrazení, které zachovává vzdálenosti i úhly

❖

Každému bodu 𝐴 je přiřazen zobrazením přes bod 𝑆 bod 𝐴′

❖

Vzdálenost bodu 𝐴 a bodu 𝐴′ od bodu 𝑆 je stejná

• Nepřímá

▪

Osová souměrnost [𝑂(𝑝)]

∀𝑥 ∈ 𝑝: 𝑂(𝑝): 𝑥 → 𝑥

′ ↔ 𝑋𝑋′┴ 𝑝 ∩ |𝑋′; 𝑝| = |𝑋; 𝑝|