Matematika k maturitě - Petr Řezka

Komolý jehlan:

1. Rotační tělesa

Válec:

Kužel:

, kde – délka pláště

Komolý kužel:

Koule:

Kulová úseč:

objem válce plus objem koule

– obsah podstavy plus obsah kulového vrchlíku

Kulová vrstva:

objem dvou válců a objem koule

1. Matice a determinanty

… …

Společný název pro řádek a sloupec je řada.

Typ matice: Obdélníková, čtvercová (m=n), sloupcová (m,1) a řádková (1,n), diagonální (samé nuly, jen na hlavní diagonále ne), jednotková (samé nuly, na diagonále jedničky)

Hlavní diagonála: z LH do PD rohu, vedlejší diagonála: z PH do LD rohu

Transponovaná matice: zaměněné sloupce a řádky

Symetrická matice: matice je stejná jako transponovaná

Hodnost matice: počet lineárně nezávislých řádků v matici (maximálně rovna menšímu z m a n)

1. Operace s maticemi

Hodnost matice se nemění, když

1. matici transponujeme

2. nějakou řadu vynásobíme nenulovým číslem

3. k některé řadě přičteme lineární kombinaci (násobek) jiné řady s ní rovnoběžné

4. v matici vynecháme nebo přidáme řadu, která je lineární kombinací jiné řady s ní rovnoběžné

Matice téhož typu se stejnou hodností jsou ekvivalentní

Hodnost matice:

h=2

Násobení matice:

Součet matic:

1. Determinant

Determinant 2. stupně:

Determinant 3. stupně:

Lineární algebra

soustava m rovnic o n neznámých

pokud je soustava homogenní, jinak je nehomogenní

podmínka řešitelnosti

1. – nemá řešení

2. • – jedno řešení

   • – nekonečně mnoho řešení (neznámých volíme a ostatní dosadíme – např. )

Příklad:

Cramerovo pravidlo: m=n, pokud determinant – 1 řešení , kde Ak je matice, ve které jsme k. sloupec nahradil sloupcem pravé strany.

Příklad:

1. Vektory

Vektor je množina všech souhlasně orientovaných úseček, které mají stejnou velikost.

Vektory rovnoběžné jsou kolineární. (souhlasně, nesouhlasně kolineární)

Vektor opačný:

Součet vektorů:

Násobení vektoru skalárem:

Dva vektory jsou lineárně závislé, jestliže jeden z nich je lineárním násobkem druhého.

Tři vektory jsou lineárně závislé, je-li alespoň jeden z nich lineární kombinací ostatních dvou.

Tři vektory jsou lineárně nezávislé, pokud ani jeden není lineární kombinací zbývajících dvou.

Skalární součin: – výsledkem je skalár

Úhel dvou vektorů:

Rovnoběžné vektory: , kolmé vektory:

Vektorový součin: – velikost. Směr: kolmo k oběma vektorům, pravotočivá báze (prsty – u,v, palec ukazuje směr).

– opačná orientace

– nulový vektor

1. Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině

Přímka:

• parametrické vyjádření:

pro přímku –

pro úsečku –

pro polopřímku –

• obecná rovnice přímky:

– normálový (kolmý) vektor

– směrový vektor

úsekový tvar rovnice přímky:

• směrový tvar:

Polorovina:

1. Analytická geometrie lineárních útvarů v prostoru

Přímka definována pouze parametricky.

Rovina:

• parametrická rovnice: