Matematika k maturitě - Petr Řezka

II. kvadrant:

III. kvadrant:

IV. kvadrant:

perioda je 2π

perioda je π

1. Základní úhly

1. Oblouková míra

1 rad je středový úhel, který přísluší oblouku jednotkové kružnice, jehož délka je 1.

1 rad = 57° 17’ 44,81’’

360°=2π

1. Grafy funkcí

sin x cos x

tg x cotg x

1. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi

,

,

Součtové vzorce:

Dvojnásobný úhel:

Poloviční úhel:

Součtové věty:

Převody přes liché násobky π/2:

1. Goniometrické rovnice a nerovnice

Základní goniometrické rovnice a nerovnice

Př. rovnice nerovnice

1. Složitější goniometrické rovnice

Pokud je v rovnici více goniometrických funkcí, převedeme je na jednu goniometrickou funkci.

Pokud odmocňujeme, musíme provést zkoušku.

1. Trigonometrie

1. Pravoúhlý trojúhelník

Goniometrické funkce

1. Obecný trojúhelník

Sinova věta: – poměr strany a protilehlého vnitřního úhlu je konstantní a je roven průměru kružnice opsané. Použití: známe stranu a 2 úhly nebo 2 strany a úhel jedné z nich.

Kosinova věta: – Použití: známe 3 strany nebo 2 strany a úhel jimi sevřený.

1. Shodná zobrazení v rovině

Samodružný bod – bod X je totožný se svým obrazem X’=X

Samodružný útvar – útvar U, jehož obrazem U’ je U

Osová souměrnost: osa souměrnosti

Středová souměrnost: střed souměrnosti

Posunutí (translace): vektor posunutí

Otočení (rotace): střed otočení, úhel otočení

Totožnost (identita)

1. Podobnost a stejnolehlost

1. Podobnost

Pro každé body X,Y a jejich obrazy X’,Y’ platí:

k>1 zvětšení

k=1 shodnost

k<1 zmenšení

V podobném trojúhelníku platí, že ve stejném poměru jsou i výšky, těžnice, střední příčky, poloměry kružnice opsané i vepsané, …

2 trojúhelníky jsou si podobné shodují-li se ve dvou úhlech nebo v 1 úhlu a poměru stran svírajících tento úhel.

1. Stejnolehlost

Pro každé X platí: , kde S je střed stejnolehlosti a κ je koeficient stejnolehlosti.

Přímka se zobrazí na přímku rovnoběžnou.

1. Pythagorova věta, Euklidovy věty

Platí pro pravoúhlý trojúhelník ACB.

I. Euklidova věta: – obsah čtverce sestrojeného nad výškou trojúhelníka se rovná obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků na přeponě.

Odvození:

II. Euklidova věta: – obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou se rovná obsahu obdélníka sestrojeného z celé přepony a úseku přilehlého k dané odvěsně.

Odvození:

Pythagorova věta: – součet obsahů čtverců nad odvěsnami se rovná obsahu čtverce nad přeponou.

Odvození: sečtením Euklidových vět.

1. Rovinné útvary

Trojúhelník:

Heronův vzorec:

Obdélník:

Rovnoběžník:

Lichoběžník:

Pravidelný n-úhelník: – n-krát obsah jednoho trojúhelníka

Kruh:

Mezikruží:

Oblouk: – úhel v radiánech

Výseč:

Úseč: – obsah výseče mínus obsah trojúhelníka

1. Nerotační tělesa

Hranol:

Kvádr:

Jehlan: