Teorie vedení, Odvození telegrafní rovnice

Odvození telegrafní rovnice.

Obrázek 1: Úbytky napětí a proudu v nekonečně krátkém úseku vedení.

Soustava rovnic pro úbytky napětí a proudu na nekonečně krátkém úseku vedení

Výpočet diferenciální rovnice

1. Obě rovnice podělíme dx

(1)

(2)

2. Rovnici 1 zderivujeme podle x

3. Do rovnice 1 dosadíme rovnici 2

(viz dále)

4. A upravíme

5. Řešením diferenciální rovnice 2.řádu je

(A)

kde γ je měrná míra přenosu

Odvození měrné míry přenosu γ

Výchozí rovnice

(1)

(2)

rovnici 1 zderivujeme podle x

(3)

rovnici 2 zderivujeme rovněž podle x, a to dvakrát za sebou

(4)

porovnáme rovnice 3 a 4

do rovnice dosadíme

obě strany rovnice vydělíme U

Odvození charakteristické impedance Z0

Výchozí rovnice

(1)

(2)

rovnici 2 zderivujeme podle x

a porovnáme s rovnicí 1

dosadíme za γ

a upravíme

kde

(B)

Obecná telegrafní rovnice – vyjadřuje napětí a proud v libovolném místě vedení

(A)

(B)

K1,K2 – integrační konstanty, mají rozměr napětí

Výpočet K1, K2 pro začátek vedení.

Počáteční podmínky - na začátku vedení x=0, U= U1, I=I1 ⇒

upravíme

rovnice nejprve sečteme

a potom odečteme

vypočtené konstanty dosadíme do vztahů (A) a (B)

• v bodě x od počátku vedení

oba vztahy upravíme

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

a vztahy v závorkách upravíme podle vzorců

• obdobně lze odvodit napětí a proud v bodě y od konce vedení (pokud známe napětí a proud na konci vedení)

vzdálenost od konce vedení

• uvažujme y=l ⇒ x=0 ⇒ napětí a proud na začátku vedení

činitele u napětí a proudu nahradíme konstantami

po dosazení mají rovnice tvar

tyto rovnice platí i pro obecný dvojbran.

Příklady:

1. Sdělovací vedení o délce l=100km má tyto parametry: R = 30 Ω/km

L= 8 mH/km

C = 30 nF/km

G = 2.10-6 S/km.

Toto vedení je zakončeno charakteristickou impedancí Z0.

1. z obecných telegrafních rovnic odvoďte vztahy a vypočítejte

• charakteristickou impedanci

• měrnou míru přenosu

• měrný útlum

• měrný fázový posuv

• vlnovou délku

• a postupnou rychlost šíření vlny pro frekvenci 800kHz.

komplexní hodnoty vyjádřete ve složkovém i exponenciálním tvaru.

1. určete a graficky znázorněte zpožďování fáze napětí ve stupních vůči počátku v závislosti na délce vedení v bodech 0, 20, 40, 60, 80 a 100 km, jestliže U2 = (-2,68-j5,73)V.

2. určete a graficky znázorněte amplitudovou charakteristiku vedení v dB a ve V pro stejné napětí a místa na vedení jako v bodě b)

3. graficky znázorněte průběh vektoru napětí v komplexní rovině pro stejné napětí a místa na vedení jako v bodě b)

4. určete vzdálenost od počátku vedení, v níž bude vektor napětí otočen o 90°vůči počátečnímu napětí

5. určete vzdálenost od počátku vedení, v níž bude napětí poloviční vůči napětí na počátku

6. vypočítejte proud na začátku a na konci daného vedení za podmínky, že vedení je zakončeno charakteristickou impedancí.