ukol_1

č. 10 (1 až 7)

1. Řešte soustavu lineárních rovnic s dvěma pravými stranami, tj. A · x = b a A · y = c, kde

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix},\ b = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \\ \end{pmatrix},\ c = \begin{pmatrix} - 2 \\ 0 \\ - 3 \\ \end{pmatrix}$$

$$\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} 2 & - 2 \\ 0 & 0 \\ 3 & - 3 \\ \end{matrix} \right)\begin{matrix} = r.\ 3 \\ = r.\ 1 \\ = r.\ 2 \\ \end{matrix}\sim\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} 0 & 0 \\ 3 & - 3 \\ 2 & - 2 \\ \end{matrix} \right)\begin{matrix} \\ - r.\ 1; - r.\ 3 \\ \\ \end{matrix}\sim\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & - 1 \\ 2 & - 2 \\ \end{matrix} \right)$$

Řešení:

$$x = \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix},\ y = \begin{pmatrix} 0 \\ - 1 \\ - 2 \\ \end{pmatrix}$$

2. Správně uzávorkujte a vypočtěte výraz A · C + B · C, kde

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & - 2 & 1 \\ \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 1 & - 2 & 0 \\ - 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 0 & - 2 \\ \end{pmatrix},\ C = \begin{pmatrix} 0 & - 2 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 2 \\ \end{pmatrix}$$

A ⋅ C + B ⋅ C = (A + B) ⋅ C

$$\left\lbrack \begin{pmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & - 2 & 1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & - 2 & 0 \\ - 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 0 & - 2 \\ \end{pmatrix} \right\rbrack \cdot \begin{pmatrix} 0 & - 2 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & - 2 & - 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & - 2 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 2 \\ \end{pmatrix} = = \begin{pmatrix} - 1 & - 2 & 0 \\ 1 & - 2 & 2 \\ 3 & - 6 & - 1 \\ \end{pmatrix}$$

3. Správně uzávorkujte a vypočtěte výraz A · x + A · y, kde

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & - 2 & 1 \\ \end{pmatrix},\ x = \ \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 3 \\ \end{pmatrix},\ y = \ \begin{pmatrix} 0 \\ - 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$$

A ⋅ x + A ⋅ y = A ⋅ (x + y)

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & - 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \left\lbrack \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 3 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ - 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \right\rbrack = \begin{pmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & - 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ - 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 6 - 4 \\ 1 + 3 + 8 \\ 0 + 6 + 4 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 9 \\ 12 \\ 10 \\ \end{pmatrix}$$