ukol_1

4. Rozhodněte, zda jsou vektory u, v, w ∈ ℝ3 lineárně nezávislé:

u = (2,2,1), v = (-2,0,1), w = (-2,2,-1)

$$\left( \begin{matrix} 2 & - 2 & - 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & - 1 \\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)\begin{matrix} /2 \\ /2 \\ \\ \end{matrix}\sim\left( \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)\begin{matrix} \\ - r.\ 1 \\ - r.\ 1 \\ \end{matrix}\sim\left( \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)\begin{matrix} \\ = r.\ 3\ /2 \\ = r.\ 2 \\ \end{matrix}\sim\left( \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)\begin{matrix} \\ \\ - r.\ 2 \\ \end{matrix}\sim$$

$$\sim\left( \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)$$

Rovnice má pouze triviální řešení. Vektory jsou lineárně nezávislé.

5. Rozhodněte, zda je p ∈ Ƥ2 := {a0 + a1x + a2x2 : a0, a1, a2 ∈ ℝ } lineární kombinací p1, p2, p3 ∈ Ƥ2, kde

p(x) = −1 − x − 2x2,
p1(x) = −2 − x + 2x2,
p2(x) = 2 − x + 2x2,
p3(x) = 1 − 2x.

$$\left( \begin{matrix} - 2 & 2 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 2 \\ 2 & 2 & 0 \\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ - 2 \\ \end{matrix} \right)\begin{matrix} \\ \bullet \left( - 2 \right) \\ + r.1 \\ \end{matrix}\sim\left( \begin{matrix} - 2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 3 \\ \end{matrix} \right)\begin{matrix} \\ + r.1 \\ \\ \end{matrix}\sim\left( \begin{matrix} - 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 3 \\ \end{matrix} \right)\begin{matrix} \\ \\ - r.2; \bullet \left( - 1 \right) \\ \end{matrix}\sim\left( \begin{matrix} - 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)\begin{matrix} - r.2 \\ - 5/4\ r.\ 3 \\ \\ \end{matrix}\sim$$

$$\sim\left( \begin{matrix} - 2 & 0 & - 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ - 4 \\ \end{matrix} \right)\begin{matrix} + r.3 \\ \\ \\ \end{matrix}\sim\left( \begin{matrix} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} - 6 \\ - 4 \\ - 4 \\ \end{matrix} \right)\begin{matrix} /( - 2) \\ /2 \\ /4 \\ \end{matrix}\sim\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ - 1 \\ \end{matrix} \right)$$

Vektor p je lineární kombinací p1, p2, p3.