19.a 20.prednaska z BMA1 - výpočet plochy, objemu, délky křivky
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Integrální počet - IV. část
(aplikace na určitý vlastní integrál)
Jiří Vítovec
19. a 20. přednáška z BMA1 (10. týden semestru)
Přednášky z Matematiky
Určeno studentům FEKT VUT
21. listopadu 2012
Obsah
Výpočet plochy ohraničené funkcemi
Výpočet objemu rotačního tělesa
Výpočet délky křivky
Výpočet plochy ohraničené funkcemi
a) Plocha mezi grafem kladné funkce f a osou x na intervalu
ha, bi:
S =
Z
b
a
f (x ) dx .
b) Plocha mezi grafem libovolné (zejména i záporné) funkce f a
osou x na intervalu ha, bi:
S =
Z
b
a
|f (x)| dx.
Integrál počítáme tak, že určíme průsečíky x1, x2, . . . , xn
funkce f s osou x a integrujeme f zvlášť na intervalech
ha, x1i, hx1, x2i, . . . , hxn, bi. Výsledná plocha S je pak součtem
absolutních hodnot výsledků jednotlivých integrálů.
c) Plocha mezi grafy funkcí f a g , f (x ) > g (x ) na intervalu
ha, bi:
S =
Z
b
a
[f (x ) − g (x )] dx .
Příklad
Určete plochu ohraničenou grafem funkce f (x ) = x 2 − x − 2, osou
x a přímkami x = −2 a x = 3.
Protože x 2 − x − 2 = 0 má kořeny x1 = −1 a x2 = 2, snadno
zjistíme, že funkce f je na intervalu h−2, 3i kladná pro
x ∈ h−2, −1) ∪ (2, 3i a záporná pro x ∈ (−1, 2).
S =
Z
3
−2
|f (x)| dx
=
Z
−1
−2
f (x ) dx +
Z
2
−1
f (x ) dx
+
Z
3
2
f (x ) dx
= . . . =
49
6
Příklad
Určete plochu ohraničenou grafy funkcí f (x ) = x + 3 a
g (x ) = x 2 + 1.
f (x ) = g (x )
x + 3 =x
2 + 1
x
2 − x − 2 = 0
x1 = −1, x2 = 2
S =
Z
2
−1
[f (x ) − g (x )] dx =
Z
2
−1
[(x + 3) − (x
2 + 1)] dx = . . . =
9
2