19.a 20.prednaska z BMA1 - výpočet plochy, objemu, délky křivky

.

Příklad
Nakreslete a určete obsah plochy ohraničené křivkami:

(i) xy = 6, x + y = 7,

(ii) y = ln x , y = ln

2 x,

(iii) y = 2x , y =

2
x , y =

x
2 , x = 0 (plocha leží v I. kvadrantu),

(iv) x 2 + y 2 = r 2, tj. odvoďte vzorec pro obsah kruhu.

Řešení:

(i)

35

2 − 6 ln 6,

(ii) 3 − e,

(iii)

1

ln 2 + 2 ln 2 − 1,

(iv) πr 2.

Příklad
Určete k (k > 0) tak, aby plocha ohraničená přímkou y = kx a
parabolou y = 4x − x 2 měla hodnotu

9
2 .

Řešení: k = 1.

Výpočet objemu rotačního tělesa

Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací funkce f kolem osy x
na intervalu ha, bi:

V = π

Z

b

a

[f (x )]

2 dx.

Příklad
Určete objem tělesa vzniklého rotací plochy omezené grafy funkcí
f (x ) = x 2 + 1 a g (x ) = x + 3 kolem osy x .

V = π

Z

2

−1

g

2(x) dx − π

Z

2

−1

f

2(x) dx

= π

Z

2

−1

[(x + 3)

2 − (x2 + 1)2] dx

= π

Z

2

−1

[8 + 6x − x

2 − x4] dx

= . . . =

117

5

π.

Příklad

(i) Určete objem ragbyového míče, který vznikne rotací funkce

y = sin x v intervalu h0, πi.

(ii) Určete objem rotačního kužele o poloměru r a výšce v , který

vznikne rotací úsečky o krajních bodech [0, 0] a [v , r ] kolem
osy x .

(iii) Určete objem pneumatiky (matematicky anuloidu) o poloměru

r a velikosti R, která vznikne rotací kružnice o rovnici
x 2 + (y − R)2 = r 2, R > r , kolem osy x .

Řešení:

(i)

1
2 π

2,

(ii)

1
3 πr

2v ,

(iii) 2π2Rr 2.

Výpočet délky křivky

Délka křivky grafu funkce f na intervalu ha, bi:

` =

Z

b

a

q

1 + [f 0(x )]2 dx .

Příklad
Určete délku křivky:

(i) y =

√

x 3, x ∈ h0,

4
3 i,

(ii) y = ln x , x ∈ h