BPC-VMP-Semestrální zkouška s řešením-2019A
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Pˇr´ıjmen´ı, jm´
eno, ID
3. 1. 2019
A
.......................................................................................
1. Jsou d´
any vektory ~
v1 = (1, 1, 1, 1)
T , ~v
2 = (0, 2, 4, 6)
T , ~v
3 = (0, 4, 16, 36)
T . Ortogonalizujte tyto
vektory v dan´
em poˇrad´ı.
10bod˚
u
~
u1 = ~v1 = (1, 1, 1, 1)
T , ~u
2 = ~
v2 −
~
v2·~
u1
~
u1·~
u1
~
v2 = (0, 2, 4, 6)
T − 12
4 (1, 1, 1, 1)
T = (−3, −1, 1, 3)T ,
~
u3 = ~v3 −
~
v3·~
u1
~
u1·~
u1
− ~v3·~u2
~
u2·~
u2
~
u2 = (0, 4, 16, 36)
T − 56
4 (1, 1, 1, 1)
T − 120
20 (−3, −1, 1, 3)
T = (4, −4, −4, 4)T
2. Diskutujte definitnost matice
−5 1 1
1
a 1
1
1 a
vzhledem k parametru a.
10bod˚
u
∆1 = −5, ∆2 =
−5 1
1
a
= −5a−1, ∆3 =
−5 1 1
1
a 1
1
1 a
= −5a
2−2a+7 = −5
a +
7
5
(a − 1),
negativnˇ
e definitn´ı pro ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0 to jest a < −7/5, pro a > −7/5 je indefinitn´ı
3. Vypoˇ
ctˇ
ete exponenci´
alu matice A =
7 −12
2
−3
10bod˚
u
χA =
7 − λ
−12
2
−3 − λ
= (λ − 1)(λ − 3) je minim´
aln´ı polynom. P (x) = Ax + B, f (x) = ext
et = A + B ∧ e3t = 3A + B ⇒ P (x) =
e3t−et
2
x +
e3t+et
2
, P (A) =
−2 et + 3 e3 t −6 e3 t + 6 et
e3 t − et
3 et − 2 e3 t
!
4. Urˇ
cete nejvˇ
etˇs´ı ˇreˇsen´ı (koˇren) rovnice e
x = 3x s pˇresnost´ı 10−2.
10bod˚
u
nejvˇ
etˇs´ı ˇreˇsen´ı rovnice = 1, 512134552, nejmenˇs´ı ˇreˇsen´ı rovnice = 0, 6190612867
5. K zadan´
ym bod˚
um
x
0
2
4
6
y
-4
-1
0
-1
vypoˇ
ctˇ
ete line´
arn´ı a kvadratick´
e vyrovn´
ani.
10bod˚
u
y = 3 −
x
2
y = −4 + 2x −
x2
4
4
12
56
12
56
288
56 288 1568
−6
−8
−40
6. Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
al
Z
1
0
exp(−3x − x
2) dx pˇresnost´ı 10−2