23 – Komplexní čísla

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Komplexní čísla

Definice

:

• Nadmnožina reálných čísel obohacená o imaginární jednotku
• Imaginární jednotka i má hodnotu 𝑖 = √−1
• Komplexní číslo je výraz neboli dvojčlen, kde platí 𝑎 + 𝑏𝑖, kde 𝑎 a 𝑏 jsou reálná čísla

a

𝑖 je imaginární jednotka

• Tento zápis se nazývá „algebraický tvar komplexního čísla“
• V oboru komplexních čísel absolutní hodnota představuje přeponu mezi odvěsnami,

které představují hodnoty reálné a imaginární části

• Komplexní číslo sdružené (𝑧̅) s číslem 𝑎 + 𝑏𝑖 je 𝑎 − 𝑏𝑖
• Komplexní jednotka je komplexní číslo, jehož absolutní hodnota je rovna 1
• Všechny komplexní jednotky leží v Gaussově rovině kružnici s poloměrem 1 a se

středem v počátku soustavy souřadnic

Rozdíl reálných a komplexních čísel:

1. V C nerozlišujeme kladná a záporná čísla
2. Komplexní čísla nejsou uspořádána podle velikosti
3.

V C neplatí, že |

𝑧2| = 𝑧2

Základní vztahy:

cos 𝜑 =

𝑎

|𝑧|

sin 𝜑 =

𝛽

|𝑧|

𝑖 = √−1 = 𝑖4𝑘+1 𝑖2 = −1 = 𝑖4𝑘+2 𝑖3 = −𝑖 = 𝑖4𝑘+3 𝑖4 = 1 = 𝑖4𝑘

Vzorce:

1. Algebraický tvar C:

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖

2. Absolutní hodnota C

: |

𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 |𝑧2| ≠ 𝑧2

3. Goniometrický tvar C:

𝑧 = |𝑧|(cos 𝛼 + 𝑖 sin 𝛼) 𝑧 ≠ 0

4. Moivreova věta:

𝑧𝑛 = cos(𝑛𝜑) + 𝑖 sin(𝑛𝜑)

5. Násobení C:

𝑧1 × 𝑧2 = |𝑧1||𝑧2|[cos(𝛼 + 𝛽) + 𝑖 sin(𝛼 + 𝛽)]

6. Dělení C:

𝑧1
𝑧2

=

|𝑧1|
|𝑧2|

[cos(𝛼 − 𝛽) + 𝑖 sin(𝛼 − 𝛽)]

7. Umocňování: 𝑧𝑛 = |𝑧|𝑛(cos(𝑛𝜑) + 𝑖 sin(𝑛𝜑)) 𝑛 ∈ 𝑍

8. Binomická rovnice:

𝑥𝑘 = √𝑧

𝑛

(cos

𝛼+2𝑘𝜋

𝑛

+ 𝑖 sin

𝛼+2𝑘𝜋

𝑛

)

Zobrazení komplexních čísel v Gaussově rovině:

Binomická rovnice:

• Binomická rovnice (𝑥𝑛 = 𝑎) s neznámou 𝑥 je taková, kde 𝑥 na 𝑛 se rovná 𝑎
• 𝑥 je komplexní číslo a 𝑛 je přirozené číslo
• Kořeny binomické rovnice (𝑥𝑛 = 𝑎) mají stejnou absolutní hodnotu a jejich

argumenty se liší o

2𝜋

𝑛

. V Gaussově rovině se zobrazí jako vrcholy pravidelného

n-úhelníku se středem v počátku soustavy souřadnic.

• Binomická rovnice (𝑥𝑛 = 𝑎) má v komplexních číslech 𝑛 kořenů

𝑥2 = 16
𝑥2 = 16(cos 0 + 𝑖 sin 0)

𝑥0 = √16 (cos

0
2

+ 𝑖 sin

0
2

) = 4

𝑥1 = √16(cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋) = −4
𝐾 = {+4; −4}

Absolutní hodnota komplexního čísla v Gaussově rovině:

• V Gaussově rovině se absolutní hodnota zobrazuje jako:

1. Kružnice: |

𝑧 − 1| = 3

2. Kruh bez ohraničení: |

𝑧| < 3

3. Kruh s ohraničením: |

𝑧| ≤ 5

4. Mezikruží: |

1 − 𝑖| > 𝑧 ≥ 1

5. Polorovina: |

𝑧 + 𝑖| ≥ |𝑧 + 1|

6. Průnik kružnic: |

𝑧 − 𝑎| = 𝑘 ∩ |𝑧 − 𝑏| = 𝑚