23 – Komplexní čísla

7. Osa úsečky: |

𝑧 − 𝑎| = |𝑧 − 𝑏|

Zobrazení pro: 1≤|z-1-3i|≤2

Pravidla pro počítání s komplexními čísly:

• Při sčítání, odčítání, násobení a dělení postupujeme stejně jako u počítání s dvoučleny
• Dvě komplexní čísla jsou si rovna, pokud se rovnají jejich reálné a imaginární části
• Imaginární část je pouze b, nikoliv bi
• Máme-li ve jmenovateli komplexní číslo, zbavíme se ho součinem s komplexně

sdruženým číslem (𝑧 × 𝑧̅ = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = (𝑎2 − 𝑏2) × (−1) = 𝑎2 + 𝑏2)

• Násobení komplexně sdruženým číslem využijeme také při počítání absolutní hodnoty

Komplexně sdružené a opačné číslo:

• Komplexně sdružené číslo k číslu 𝑧 = [𝑎; 𝑏] je číslo 𝑧̅ = [𝑎; −𝑏]
• Sdružené číslo se značí indexem horní vodorovné čáry nad písmenem z
• Číslo opačné ke komplexnímu číslu 𝑧 = [𝑎; 𝑏] je číslo −𝑧 = [−𝑎; −𝑏]

Grafické sčítání a násobení komplexních čísel:

• Při sčítání komplexních čísel postupujeme jako u sčítání vektorů
• Konečný bod vektoru, který sčítáním vznikne, je souřadnice hledaného čísla
• Násobíme-li komplexní číslo reálným číslem, využijeme stereometrii
• Násobíme-li komplexní číslo komplexní jednotkou, dojde k otočení kolem počátku

soustavy souřadnic o argument komplexní jednotky

• Násobení komplexních čísel se dělá za pomocí goniometrického tvaru C

1. Uděláme si stejnolehlé komplexní číslo dle počátku soustavy souřadnic o

koeficientu podílu absolutních hodnot obou čísel

2. Rotujeme z bodu 1 podél počátku proti směru hodinových ručiček o argument

druhého komplexního čísla

• Při dělení převedeme podíl na součin pomocí vzorce pro goniometrický tvar
• Příklad převedeme na zlomek a jmenovatel převedeme na goniometrický tvar

Příklad – rovnice v C:

Zadání: Rozložte rovnici 2𝑥2 − 8𝑥 + 10 na součin kořenových činitelů

Řešení:

2𝑥2 − 8𝑥 + 10 = 2(𝑥2 − 4𝑥 + 5) = (𝑥 − (2 − 𝑖)(𝑥 − (2 + 𝑖)) = (𝑥 − 2 + 𝑖)(𝑥 − 2 − 𝑖)

𝐷 = 16 − 4 × 5
𝐷 = −4 = 4𝑖2
√𝐷 = 2𝑖

𝑥1,2 =

4 ± 2𝑖

2

𝑥1 = 2 + 𝑖 𝑥2 = 2 − 𝑖

Výsledek: (𝑥 − 2 + 𝑖)(𝑥 − 2 − 𝑖) (lze také počítat bez vyjmutí 2, výsledek bude stejný)

Příklad – goniometrický tvar C:

Zadání: Je dáno číslo 𝑧 = −2 + 2√3𝑖. Znázorněte ho v Gaussově rovině, převeďte ho na
goniometrický tvar a určete k němu číslo komplexně sdružené a opačné.

Řešení:

1. V Gaussově rovině se číslo zobrazí na souřadnicích

[−2; 2√3]. Vzdálenost √3

graficky vyřešíme pomocí Pythagorovy věty a přenesení vzdálenosti.

2.

𝑧 = |𝑧|(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑) = 4 (cos

2𝜋

3

+ 𝑖 sin

2𝜋

3

) 1

3.