Pravděpodobnost - asymptotické chování, normální rozdělení

12. Asymptotické chování součtu velkého počtu náhodných veličin. Centrální limitní věta. Silný zákon velkých čísel.

Silný zákon velkých čísel (SZVČ)

• Pokud průměrujeme velké množství náhodných vlivů -> v nekonečnu se náhoda vytrácí a průměr se chová deterministicky/rovná se střední hodnotě jednotlivých náhodných veličin

• Princip sázkových kanceláří, zákony difuze atd.

Centrální limitní věta (CLV)

• Vhodně znormovaný součet velkého počtu náhodných veličin má přibližně normované normální rozdělení

• Čteme následovně

• Důsledkem CLV je tvrzení o asymptotickém chování součtu a aritmetickém průměru náhodných veličin

• Využití k modelování celkové chyby jako součtu velkého počtu drobných náhodných chyb

13. Normální rozdělení, normované normální rozdělení a vztah mezi nimi.

Normální rozdělení – X ∼ N (µ, σ2), µ ∈ R, σ2 > 0

• = Gaussovo rozdělení

• X nabývá hodnot z celého R

• Hustota

$f\left( x \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{- \frac{{(x - \mu)}^{2}}{2\sigma^{2}}}$ , x ∈ R

• Graf hustoty – Gaussova křivka

• Distribuční funkce

$F\left( x \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\int_{- \infty}^{x}e^{- \frac{{(t - \mu)}^{2}}{2\sigma^{2}}}\text{dt}$, x ∈ R

• Distribuční funkci nelze explicitně vyjádřit vzorcem

• Modelace součtu velmi mnoha drobných faktorů

• Střední hodnota – EX = µ

• Rozptyl – varX = σ2

Normované normální rozdělení – X ∼ N (0, 1)

• = znormovaná náhodná veličina s normálním rozdělením

  • znormovaná veličina má vždy nulovou střední hodnotu a jednotkový rozptyl

  • µ = EX = 0

  • σ2 = var X = 1

• Hustota

$\varphi\left( x \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \bullet e^{- \ \frac{x^{2}}{2}}$, x ∈ R

• Distribuční funkce

$\Phi\left( x \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \bullet \int_{- \infty}^{x}{e^{- \ \frac{t^{2}}{2}}\text{\ dt}}$, x ∈ R

• Hodnoty distribuční funkce jsou tabelovány (ve statistických tabulkách)

• Hustota φ je symetrická => z toho plyne:

  • Φ(x) = 1 − Φ(−x), x ∈ R

  • Z toho důvodu se tabelizují Φ(x) jen pro nezáporné x

Transformace normálně rozdělených veličin

1. Y má normální rozdělení s parametry µ a σ2 -> potom $X = \frac{Y - \mu}{\sigma}$ má normované normální rozdělení N (0, 1) – (z definice normované veličiny)

   1. Díky tomu, není potřeba tabelizovat všechny hodnoty distribuční funkce pro všechna možná normální rozdělení – stačí tabulka pro Φ, protože pro všechny distribuční funkce platí vztah

      • $F\left( x \right) = \Phi(\frac{x - \mu}{\sigma})$

2. Jestliže X má normální rozdělení s parametry µ a σ2 a Y = a + bX, potom Y má opět normální rozdělení s parametry a + bµ a b2σ2

3. Uvažujme, že náhodné veličiny X a Y, X ∼ N (µ1, σ12), Y ∼ N (µ2, σ22), jsou nezávislé. Potom náhodná veličina Z = aX + bY + c má rozdělení N (aµ1 + bµ2 + c, a2σ12 + b2σ22)