Pravděpodobnost - diskrétní a spojitá náhodná veličina, odvozená rozdělení

6.Diskrétní náhodná veličina, pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny, charakteristiky diskrétní náhodné veličiny a jejich výpočet pomocí pravděpodobnostní funkce

Diskrétní náhodná veličina X nabývá nejvýše spočetně mnoha hodnot z množiny M = {x1, x2, .} s kladnými pravděpodobnostmi p(xi) = P(X = xi)

Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny – pravděpodobnostní funkcí

• Musíme znát pravděpodobnost hodnot, kterých může náhodná veličina nabývat

• Rozdělení pravděpodobnosti určuje pravděpodobnostní funkce s předpisem

$$p\left( a \right) = \left\{ \begin{matrix} P\left( X = a \right)\ ,\ a \in M\ \\ 0\ ,\ \ a \in /M \\ \end{matrix} \right.\ $$

• P (X = a) - je stručnější a přehlednější zápis pro P {ω ∈ Ω; X(ω) = a}

• Vlastnosti pravděpodobnostní funkce

  • p (xi) > 0, xi  ∈ M

  • $\sum_{x_{i} \in M}^{}{\ p(x_{i})} = 1$

7. Spojitá náhodná veličina, hustota spojité náhodné veličiny, charakteristiky spojité náhodné veličiny a jejich výpočet pomocí hustoty. Kvantily rozdělení.

Spojitá náhodná veličina nabývá obecně libovolných reálných hodnot – většinou z nějakého intervalu I ⊆ R.

Rozdělení pravděpodobnosti určuje hustota f náhodné veličiny X, což je nezáporná funkce taková, že

• a,b jsou hranice intervalu na nichž je definována hustota jako nezáporná funkce

• hustota f se zadává po částech

Vlastnosti spojité náhodné veličiny

Geometricky lze pravděpodobnost spojité veličiny P (a < X < b) interpretovat jako obsah plochy ohraničené grafem f na intervalu (a,b) a osou x (=> z definice integrálu)

9. Odvozená spojitá rozdělení (χ 2 , t a F−rozdělení). Uveďte příklady alespoň dvou známých náhodných veličin s některými z těchto rozdělení.

1. χ2 – rozdělení o n stupních volnosti – X ∼ χ2(n)

• X1, …, Xn – nezávislé náhodné veličiny s normovaným normálním rozdělením N (0, 1)

• $Y_{n} = \sum_{i = 1}^{n}{X_{i}}^{2}$ – náhodná veličina s tzv. χ2 – rozdělení o n stupních volnosti

• χα2(n) = α−kvantil rozdělení

2. Studentovo (t-) rozdělení o n stupních volnosti – X ∼ t(n)

• U a V jsou nezávislé náhodné veličiny, U ∼ N (0, 1) a V ∼ χ2 (n)

• $W = \frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n}}}$ – náhodná veličina s tzv. Studentovým rozdělením/t-rozdělením o n stupních volnosti

• tα (n) - α−kvantil rozdělení

3. Fisherovo-Snedecorovo rozdělení – X ∼ F (n1, n2)

• U1 ∼ χ2(n1) a U2 ∼ χ2(n2) – náhodné veličiny s χ2-rozdělením

• $Z = \frac{\frac{U_{1}}{n_{1}}}{\frac{U_{2}}{n_{2}}}$ – náhodná veličina s tzv. Fisherovo-Snedecorovým rozdělením o n1,n2 stupních volnosti

• Fα(n1,n2) - α−kvantil rozdělení

  • Fα(n1,n2) = 1/F1-α(n1,n2)