Statistika - jednovýběrové testy, dvouvýběrový t-test

6. Jednovýběrový t-test pro výběr z normálního rozdělení, souvislost s intervalovým odhadem střední hodnoty.

• = jednovýběrový t-test o střední hodnotě při neznámém rozptylu

  • Existuje i jednovýběrový test o střední hodnotě při známém rozptylu – ten ale v praxi většinou nelze použít (většinou rozptyl neznáme)

• Náhodný výběr je z normálního rozdělení N (µ, σ2)

• Hodnota σ2 je nahrazena S2

• Testová statistika R má za platnosti H0 Studentovo t-rozdělení o n–1 stupních volnosti

  • $R = \frac{\overline{X} - \mu_{0}}{S}\sqrt{n}$

• H0 : μ = μ0

• H1 : μ ≠ μ0 , (μ > μ0) , (μ < μ0)

• Souvislost s intervalovým odhadem střední hodnoty

• Jednovýběrový test o střední hodnotě a známém rozptylu

  • Stejné jen testová statistika má za platnosti H0 normované normální rozdělení a pracujeme s hodnotou σ ne S

7. Jednovýběrový test o rozptylu pro výběr z normálního rozdělení, souvislost s intervalovým odhadem rozptylu.

• Náhodný výběr z normálního rozdělení N (µ, σ2)

• Testová statistika R má za platnosti H0 χ2- rozdělení o n–1 stupních volnosti

  • $R = \frac{(n - 1) \bullet S^{2}}{{\sigma_{0}}^{2}}$

  • H0 : σ2 = σ02

  • H1 : σ2 ≠ σ02 , (σ2 > σ02) , (σ2 < σ02)

• Souvislost s intervalovým odhadem rozptylu – podobně jako u předchozí otázky

8. Dvouvýběrový t-test. Uveďte předpoklady a použití.

• Test shody středních hodnot

• Máme dva na sobě nezávislé náhodné výběry z normálního rozdělení

  • X1, …, Xn z N (µ1, σ12)

  • Y1, …, Yn z N (µ2, σ22)

• H0 : μ1 = μ2 nebo H0 : μ1 − μ2 = 0

Dvouvýběrový t-test shody středních hodnot při známých rozptylech σ12, σ22 (v praxi se většinou nevyužije)

• Z vlastností normálního rozdělení platí, že i $\overline{X}$ a $\overline{Y}$ mají normální rozdělení a i veličina $\overline{X} - \overline{Y}$ má normální rozdělení.

• Testová statistika R má po znormování a za platnosti H0 normované normální rozdělení

$$R = \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{\frac{{\sigma_{1}}^{2}}{n}\ + \ \frac{{\sigma_{2}}^{2}}{m}}}$$

Dvouvýběrový t-test shody středních hodnot při neznámých rozptylech

• Rozptyly nahradíme bodovými odhady S12, S22

• Testová statistika R má po znormování a za platnosti H0 Studentovo t(l) rozdělení

$$R = \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{\frac{{S_{1}}^{2}}{n}\ + \ \frac{{S_{2}}^{2}}{m}}}$$

• l je počet stupňů volnosti

  • Skoro nikdy to není celé číslo -> zaokrouhluje se na nejbližší celé číslo nebo můžeme za kvantil volit průměr mezi kvantilem se stupni volnosti rovnými nejbližšímu menšímu celému číslu a kvantilem se stupni volnosti rovnými nejbližšímu většímu celému číslu

Příklad použití testu:

• Máme dvě skupiny studentů, které byly vystaveny dvou různým výukovým metodám, a chceme zjistit, zda se jejich průměrné skóre v testu liší.