Matematika_teorie_4
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu DOC.
1. Definice dvojného integráluKdyž zjemňujeme pokrytí oblasti A obdélníky tak, že ∆xi se blíží k 0, ∆yi se blíží k 0, blíží se součet S k číslu I. Pak říkáme, že existuje dvojný integrál x fce F(x,y) na oboru A. Má hodnotu I a píšeme . Integrál platí když je A ohraničená a uvnitř spojitá. Geometrický význam je I = obsah plochy. Převod dvojného na dvojnásobný integrál Fubiniova věta
2.Transformace dvojného integráluJsou dány fce x = ϕ(u,v), y = ψ(u,v) takové že, 1.zobrazují obor B v rovině (u,v) na obor A v rovině (x y), 2.jsou na uzavřeném oboru B spojité a mají spojité parciální derivace, 3.na oboru B platí: Při transformaci se daný integrál na daném oboru převádí na integrál z jiné funkce na jiném oboru, který má však stejnou hodnotu. Platí-li předchozí pak: Transformace do polárních souřadnic x=ρcos2ϕ ,y= ρsinϕ , |J|=ρ
Zobecnění- eliptické souřadnice: x=aρcosϕ, y=bρsinϕ ⇒ |J|=abρ
3. Aplikace dvojného integrálu- plošný obsah - hmotnost - obsah křivkové plochy - objem tělesa - statické momenty - souřadnice těžiště - momenty setrvačnosti
4. Trojný integrál
Když zjemňujeme pokrytí oblasti A kvádry tak, že ∆xi se blíží k 0, ∆yi →0, ∆zi→0, blíží se součet S k jistému číslu I. Pak říkáme, že existuje trojný integrál z fce F(x,y,z) na oboru A, má hodnotu I a píšeme . Integrál existuje, když kromě podmínek při vynášení oboru A ještě platí, že A je ohraničená a uvnitř spojitá. Pro ∫∫∫ platí analogické vlastnosti jako pro ∫∫. Výpočet provádíme rovněž postupnou integrací. Součet S udává přibližné množství udávané veličiny na oboru A.
5. Transformace trojného integrálu
Jsou dány fce x=ϕ(u,v,w), y=ψ(u,v,w), z=κ(u,v,w) takové že: 1. zobrazují obor B v prostoru (u,v,w), na obor A v prostoru (x,y,z), 2. jsou na uzavřeném oboru B spojité a mají tam spojité parciální derivace, 3. na oboru B platí J=0Transformace do cylindrických (válcových) souřadnic:
ρ>0 x=ρcosϕ
0≤ϕ≤2π y=ρsinϕz∈R z=z J=ρ
Transformace do sférických souřadnic:
koule poloměr r x=ρcosϕsinγ0<ρ 6. Aplikace trojného integrálu 7. Skalární a vektorové pole Skalární pole – bodu v R3 přiřadíme nějakou fci- skalár u=f(x,y,z)=fu. Skalární pole je ekvivalentní s jednou fcí tří reálných proměnných. Zavedeme vektorový operátor ∇(δ/δx ;δ/δy ;δ/δz ). Pak lze psát ∇f(x,y,z)= (δ/δx ;δ/δy ;δ/δz ) f(x,y,z)=(f´x , f´y , f´z ) grad f(x,y,z) gradient – směr největší změny funkčních hodnot Je-li dána fce f: u=f(x,y,z), která každému bodu svého definičního oboru přiřazuje číslo ( skalár ), je na tomto oboru definováno skalární pole Vektorové pole Vektorové pole je ekvivalentní s uspořádanou trojicí fcí tří reálných proměnných Jestliže bodům v prostoru přiřadíme vektory fcí F: a: ax(x,y,z); ay(x,y,z); az(x,y,z), pak je na definičním oboru fce F definováno vektorové pole. Poloha bodu v prostoru je dána jeho třemi souřadnicemi M(x,y,z), nebo polohovým vektorem rM = x,y,z . Jestliže souřadnice bodu M jsou funkcemi proměnné t (parametru), je také funkcí parametru t: rM=x(t), y(t), z(t) . Když se mění t, mění se i poloha bodu M . 8. Křivka Dá se popsat parametrickými rovnicemi x=x(t); y=y(t); z=z(t) t∈J nebo vektorovou rovnicí jednoho skalárního argumentu f =f(z) =x(t), y(t), z(t) ; t∈J nebo (x(t), y(t), z(t) ). Když spojíme několik kladně orientovaných oblouků L1, L2 … tak, že koncový bod oblouku L1 je počátečním bodem oblouku L2 a jiné společné body nemají, dostaneme jednoduchý po částech hladký oblouk L. Je-li navíc koncový bod posledního oblouku počátečním bodem prvního oblouku dostáváme jednoduchou po částech hladkou křivku uzavřenou. t∈ <α,β> F: x =x(t); y =y(t); z =z(t) jsou spojité na <α,β> zobrazení F je prosté označení křivky: L: r‘=r‘(t) t∈<α,β> vektorové L: x =x(t), y =y(t), z =z(t) t∈<α,β> parametrické Prostorová křivka se neprotíná. Hladká křivka je když navíc ∃ r‘(t)=(x´(t), y´(t), z´(t) ) v každém t∈<α,β>. 9. Křivkový integrál ve skalárním poli Je dáno skalární pole a v tomto poli jednoduchý hladký oblouk L. Ten můžeme rozdělit na části; ke každému dílu vytvoříme součin. Všechny tyto součiny sečteme a dostaneme tzv. integrální součet S(f,L,D) závislý na fci f, na oblouku L a dělení D. Když zjemňujeme dělení tak, že rozdíl rádius vektoru se blíží k 0 a součet S(f,L,D) se blíží k nějaké hodnotě I závislé jen na f,L a ne na dělení D, pak existuje křivkový integrál prvního druhu. Píšeme ∫f(x,y,z)ds=I 10. Aplikace křivkového integrálu délka křivky obsah válc. plochy s řídící křivkou c a omezením z =0 a z =f(x,y) hmotnost stat. momenty – rovinné hladké křivky - prostorové hladké křivky momenty setrvačnosti – rovinné hladké křivky - prostorové hladké křivky 11. Křivkový integrál ve vektorovém poli Je dáno vektorové pole F a hladký jednoduchý orientovaný oblouk L, který rozdělíme na části a ke každému dílu vytvoříme skalární součin, přičemž i je vektor pole F, které patří k bodu M. Skalární součiny sečteme pro všechny části oblouku L. Dostaneme tak integrální součet S(i,L,D), který závisí na vektorové fci i křivce L a dělení D. když při zjemňování dělení se integrální součet blíží k nějaké hodnotě I nezávisle na hodnotě D, pak existuje křivkový integrál druhého druhu. 12. Cirkulace a Greenova věta Integrál ∫→(a d r) při uzavřené křivce L se nazývá cirkulace vektoru a→ podél křivky L. Vztah mezi křivkovým integrálem v rozvinutém vektorovém poli a integrálem dvojným popisuje Greenova věta: Je dána kladně orientovaná po částech hladká uzavřená křivka L, která ohraničuje rovinnou oblast D a vektorová fce a: = (ax(x,y);ay(x,y) ) jejíž složky mají spojité parciální derivace na D. Pak platí: ∫L(ax+ay)dr = ∫∫D (δxδx-δyδy)dxdy ∫ Pdx+Qdy = ∫∫ (Q´(x)-P´(y) ) dxdy 13. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě platí: Když existuje na jednoduše souvislé oblasti fce u = f(x,y,z) taková, žejejí diferenciál du = P(x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy + R(x,y,z)dz , pak pro křivky ležící uvnitř této oblasti nezávisí hodnota integrálu I na integrační cestě a platí, že tuto hodnotu můžeme spočítat jako I = ∫ (x1 ,y1 ,z1)- ∫ (x2 ,y2 ,z2) kde A=[ x1 ,y1 ,z1] , B=[ x2 ,y2 ,z2] . A je počáteční a B je koncový bod oblouku L. 14. Aplikace křivkového integrálu ve vektorovém poli Když vektor v prostoru znamená sílu, pak integrál udává práci této síly na oblouku L. Když L je rovinná po částech hladká uzavřená křivka, pak integrál udává plošný obsah části roviny, kterou křivku ohraničuje. 15. Ortogonální systém funkcí Prvky pro které je jejich skalární součin roven 0, (xy)=0, nazýváme ortogonální (kolmé). Prvky x1 ,x2…. ,xi tvoří ortogonální systém, když každé dva z nich jsou ortogonální, tj. (xi xj=0 pro i=j ortogonální systém, který neobsahuje nulový prvek je tvořen lineárně nezávislými prvky (žádný z nich není v lineární kombinaci ostatních)). 16. Metoda nejmenších čtverců Význam kolmého průmětu y vektoru x do podprostoru M je v tom, že y má ze všech vektorů v M nejmenší vzdálenost od x. Když y náleží M, je kolmý průmět vektoru x∈V do M říkáme, že vektor x nahrazujeme vektorem y s chybou x-y. Metoda při které nahrazujeme vektor jeho kolmým průmětem do podprostoru M se nazývá metoda nejmenších čtverců (použití ve vyrovnávacích počtech při řešení sporných soustav). 17.Fourierova řada a Fourierovy koeficienty Fourierova řada je vyjádření jakékoliv periodické funkce za pomoci funkcí harmonických. 18. Konvergence trigonometrické Fourierovy řady Je-li 2x periodická fce f na intervalu <−x,x>, po částech spojitá, tj. má jen konečný počet bodů nespojitosti I druhu tj. existují jednostranné limity lim(x→x0) f(x)=f (x0) a lim(x→x0÷) f(x)=f(x0÷), které jsou různé a po částech monotónní, pak její Fourierova řada konverguje pro každé x. 19. Kosinova Fourierova řada f(x)=a/2+Σ…, b=0. Je to sudá funkce,symetrická podle y, F(x)=f(x)…(0,π>F(x)=f(-x)..(-π,0). Je-li f sudá funkce tj. f(-x)=f(x) pak i f(x)cos(nx) je sudá funkce, kdežto f(x)sin(nx) je funkce lichá. Pro Fourierovy koeficienty 2x-period. sudé fce f pak platí a=2/x ∫ xf(x)dx , a0=2/x ∫ xf(x)cos(nx) dx , b=0 pro všechna n. Fourierovy řady pak obsahuje pouze kosinové členy. Je-li f lichá fce tj. f(-x)= -f(x) pak i f(x)cos(nx) je lichá fce kdežto f(x)sin(nx) je fce sudá. Pro Fourierovy koeficienty 2x – periodické fce pak platí an =0 pro všechna n. Fourierova řada pak obsahuje pouze sinové členy. Fce f, která v intervalu <0,π> splňuje Drichletovy podmínky, chceme někdy rozvinout buď ve Fourierovu řadu sinovou nebo kosinovou. 20. Sinová Fourierova řada a0 =0, a1 =0 je to fce lichá, symetrická podle 0, F(x)=f(x)…(0,π>, F(x)=f(-x)…(-π,0) Trigonometrická Fourierova řada Systém funkcí: 1,cos x, sin x….cos(nx), sin(nx)… se nazývá základní trigonometrický systém. Základní trigonometrický systém tvoří ortogonální systém na intervalu <−π,π>. Řada tvaru a=1,2… je trigonometrická Fourierova řada