Prednaska

Motivací pro zavedení dvojného integrálu může být např. výpočet objemu tělesa
ohraničeného spojitou funkcí

( , ) definovanou nad uzavřenou oblastí M.

= [−2; 2] × [−2; 2]; ( , ) =

M y
x

Pro ℎ > 0 uvažujme pravoúhlou síť přímek v rovině

(ℎ): = ℎ, = − ℎ, = ℎ, = − ℎ, = 0,1,2, …

ℎ

ℎ

Označme

= [ ℎ, ( + 1)ℎ) × [ ℎ, ( + 1)ℎ) čtverec sítě (ℎ).

Pro danou měřitelnou oblast a síť (ℎ) definujeme dolní pokrytí (ℎ) a
horní pokrytí

(ℎ) oblasti M čtverci sítě (ℎ)

(ℎ) =

(ℎ) =

∩

∅

⊆

M

Oblast je měřitelná a existuje tedy její míra ( ). Platí zřejmě

(ℎ) ≤ ( ) ≤

(ℎ).

Pro každý čtverec ∈ (ℎ) definujeme libovolný, ale pevný bod [ , ] ∈ .
Je-li nyní dána funkce = ( , ) spojitá na definujeme její dolní a horní
součet

( , , ℎ) =

( , )

∈ ( )

ℎ ( , , ℎ) =

( , )

∈

( )

ℎ

Zřejmě platí

( , , ℎ) ≤ ( , , ℎ) a dá se i ukázat, že

( , , ℎ ) ≤ ( , , ℎ ) a ( , , ℎ ) ≥ ( , , ℎ ) pro ℎ < ℎ

Existují tedy limity

lim

→

( , , ℎ) = a lim

→

( , , ℎ) =

Čísla a se nazývají dolní a horní dvojný integrál z funkce na oblasti .

Pokud platí = , je tato společná hodnota dvojný integrál z funkce f na
oblasti M a funkce ( , ) se nazývá integrovatelná. Formálně

=

( , )

Spočítejme dvojný integrál

1 − −

kde pro

platí ≥ 0, ≥ 0, + ≤ 1 .

1

1

1

M

Pokryjeme oblast M sítí
V každém čtverci vybereme

jeho levý dolní roh.
Je zřejmé, že v obrázku budou
mít čtverce téže barvy hodnotu
funkce 1 − − v levém
dolní rohu stejnou. Sestavme
nyní dolní součet. Je-li počet dílků , máme ℎ = 1/ .

( , , ℎ) =

1

1 + 2 1 −

1

+ 3 1 −

2

+ ⋯ + ( − 1) 1 −

− 2

Výraz 1/ zde značí obsah čtverce sítě.

0 ⋅⋅⋅

1

1

Podobně vypočítáme i horní součet.

( , , ℎ) =

1

1 + 2 1 −

1

+ 3 1 −

2

+ ⋯ + ( ) 1 −

− 1

Spočítáme nyní lim →

( , , ℎ) .

( , , ℎ) =

1

1 + 2 1 −

1

+ 3 1 −

2

+ ⋯ + ( − 1) 1 −

− 2

=

=

1 1 + 2 + ⋯( − 1) − 1(2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 + ⋯+ ( − 1)( − 2)) =

=

1

( − 1)

2

−

1

− 3 + 2

3

=

+ 3 − 4

6

lim

→

+ 3 − 4

6

=

1
6

Pro horní součet pak máme

( , , ℎ) =

1

1 + 2 1 −

1

+ 3 1 −

2

+ ⋯ + ( ) 1 −

− 1

=

=

1

1 + 2 + ⋯ + −

1

2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 + ⋯ + ( − 1) =

=

1

( + 1)

2

−

1 ( − 1) ( + 1)

3

=

+ 3 + 2

6

a dostaneme opět

lim

→

+ 3 + 2

6

=

1
6

Tedy ∬ 1 − −

= 1/6.

Poznámka Při výpočtu jsme využili identity

= 1 + 2 + ⋯ + =

( + 1)

2

= 1 + 2 + 3 + ⋯ +

=

(2 + 1)( + 1)

6

= 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 + ⋯ + ( − 1) =

( − 1) ( + 1)

3

Identita

je součet aritmetické posloupnosti a dále zřejmě platí

= (1 + 1) ⋅ 1 + (2 + 1) ⋅ 2 + ⋯ ( − 1 + 1)( − 1)

a tedy

=

+

. Proto stačí dokázat .

K tomu využijeme zřejmé identity

( + 1) −

= 3 + 3

Dosadíme-li do ní postupně čísla 1, 2, … , , dostaneme

2 − 1 = 3 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 + 1
3 − 2 = 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 + 1

− − −

( + 1) −

= 3 + 3